Limite successione ricorsiva

[ElModdy]

Ciao,
come faccio a dimostrare che $ 0 Apprezzo ogni tipo di aiuto.
Grazie in anticipo per la disponibilitá.

[gugo82]

Supponiamo, ad esempio, che $k_0 = \kappa \in RR$ sia assegnato. Allora:
\[
\begin{split}
k_n &< \frac{1}{2} \underbrace{k_{n-1}}_{ < \frac{1}{2} k_{n-2}} \\
&< \frac{1}{4} \underbrace{k_{n-2}}_{< \frac{1}{2} k_{n-3}} \\
&< \frac{1}{8} k_{n-3} \\
& \cdots
\end{split}
\]
Riesci a continuare?
Fin dove arrivi?

[Lebesgue]

Volendo puoi anche usare il criterio del rapporto, infatti:
\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{k_{n+1}}{k_n}<\frac{1}{2}\) e quindi, essendo in particolare il rapporto <1,
\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}k_n=0\)

[dissonance]

"Lebesgue":Volendo puoi anche usare il criterio del rapporto, infatti:
\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{k_{n+1}}{k_n}<\frac{1}{2}\) e quindi, essendo in particolare il rapporto <1,
\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}k_n=0\)

Eh no! Lo avevo pensato pure io a bruciapelo; ma chi ti dice che il primo limite che hai scritto esista? Devi metterci un limsup, non un limite.

[Lebesgue]

"dissonance":[quote="Lebesgue"]Volendo puoi anche usare il criterio del rapporto, infatti:
\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{k_{n+1}}{k_n}<\frac{1}{2}\) e quindi, essendo in particolare il rapporto <1,
\(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}k_n=0\)

Eh no! Lo avevo pensato pure io a bruciapelo; ma chi ti dice che il primo limite che hai scritto esista? Devi metterci un limsup, non un limite.[/quote]

mmm...hai ragione. Credo però si possa dimostrare che la successione dei rapporti è in realtà decrescente e quindi il limite esiste per il teorema delle successioni monotone (diciamo che non tocco analisi da quasi un anno e quindi sono un po' arrugginito)
Comunque, passando al limsup come dici tu, la tesi rimane vera in ogni caso.

In alternativa, essendo la successione decrescente per ipotesi, allora il limite di $k_n$ esiste e può essere solamente 0 oppure $-\infty$ (sempre per il thm delle succ monotone, in quanto $k_n$ è decrescente e limitata inferiormente) ma, essendo $k_n>0$, allora il limite di $k_n$ è necessariamente 0

[dissonance]

Non capisco perché il limite possa essere solo 0 o meno infinito. Lo dovresti dimostrare. Tu dici che è perché la successione è decrescente, ma non basta; esistono fior di successioni decrescenti che convergono, per esempio, a 1\2.

[Lebesgue]

"dissonance":Non capisco perché il limite possa essere solo 0 o meno infinito. Lo dovresti dimostrare. Tu dici che è perché la successione è decrescente, ma non basta; esistono fior di successioni decrescenti che convergono, per esempio, a 1\2.

Si, ho detto una cavolata LOL scusate (ripeto, non tocco analisi da un po')
Tuttavia, rimane valido il ragionamento fatto con il cirterio del rapporto ed il limsup

[dissonance]

"Lebesgue":[quote="dissonance"]Non capisco perché il limite possa essere solo 0 o meno infinito. Lo dovresti dimostrare. Tu dici che è perché la successione è decrescente, ma non basta; esistono fior di successioni decrescenti che convergono, per esempio, a 1\2.

Si, ho detto una cavolata LOL scusate (ripeto, non tocco analisi da un po')
Tuttavia, rimane valido il ragionamento fatto con il cirterio del rapporto ed il limsup[/quote]
Nessuna cavolata, e non ti scusare, sbagliando si impara. Quel ragionamento è quasi completo, secondo me con un piccolo sforzo ulteriore lo puoi recuperare.