Limite successione per ricorrenza

[niccolobaccini]

Save,
ho problemi con la risoluzione di questo esercizio:

si consideri la successione

\[
\begin{cases}
x_1 = 1\\
x_{n+1} = \int_0^{x_n} e^{-t^2} \text{d} t &,\ \forall n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]

quali delle seguenti affermazioni è corretta

1) non esiste
2) $ lim_(x ->\infty ) x_n=1$
3) $ lim_(x ->\infty ) x_n= \infty $
4) $ lim_(x ->\infty ) x_n=0$

allora ho stabilito che $x_n$ è decrescente e positiva dunque ammette limite quindi ho impostato

$ l= int_(0)^(l) e^(-t^2) "d" t $

ma non so come proseguire

[Mephlip]

Se una successione è decrescente, chi è il suo limite per $n\to\infty$? [Inserire risposta]
Se una successione è positiva, chi è [Inserire risposta]?
Detto ciò, qual è quindi l'unica opzione possibile per $l$?

[niccolobaccini]

a l'estremo inferiore
dunque 0 ?

[Mephlip]

Corretto, essendo decrescente e limitata dal basso da $0$ si ha
$$0 = \inf_{n\in\mathbb{N}} x_n = \lim_{n \to \infty} x_n = l$$

[niccolobaccini]

grazie

[Fioravante Patrone1]

"niccolo123":
...

allora ho stabilito che $x_n$ è decrescente e positiva dunque ammette limite quindi ho impostato

$ l= int_(0)^(l) e^(-t^2) "d" t $

ma non so come proseguire

Vedo che l'esercizio è stato risolto grazie ai suggerimenti di Mephlip.

Ma se ti fosse rimasta una curiosità "appesa", la risposta la potevi anche ottenere risolvendo

$ l= int_(0)^(l) e^(-t^2) "d" t $

come ti ripromettevi di fare.
Da quello che hai dedotto, il limite $l$ c'è ed è maggiore o uguale a $0$.
Ovviamente $0$ è una soluzione della tua equazione, però occorre provare che non ce ne sono altre.
A naso direi che basta usare il tipo di ragionamenti che hai usato per provare la monotonia di $x_n$ (tiro un po' a indovinare, visto che non li hai esplicitati): molto semplicemente, $l>0$ non può essere soluzione perché a destra stai integrando su un intervallo di lunghezza $l$ (positiva!) una funzione che su $[0,l]$ è sempre minore strettamente d $1$, tranne che nell'origine

Ciao a tutti e due