Limite successione in un esercizio
Sera,
spero di non andare contro nessuna liena guida se posto una seconda domanda anche se nell'altra non ho ancora ricevuto risposta. Nel qual caso mi scuso e non capiterà piu'
Vorrei potervi chiedere se il seguente svolgimento è giusto, nel particolare quando applico il teorema del confronto, non capisco se si possa usare con somme di funzioni, vi mostro il mio svolgimento:
$lim_(x->∞) log(3^n+cos(3^n))/n=lim_(x->∞) log(3^n+cos(3^n))^(1/n)$ ora divido e moltiplico per $3^n$ $lim_(x->∞) log((3^n+cos(3^n))*3^n/3^n)))^(1/n)=lim_(x->∞) log((1+cos(3^n)/3^n))*3^n))^(1/n)$
Ed essendo $lim_(x->∞) cos(3^n)/3^n=0$ per il confronto, avrei
$lim_(x->∞) log((1+0)*(3^n))^(1/n)=lim_(x->∞) log(3^n)^(1/n)=log3$
Ho poi visto che c'è una soluzione più semplice, io non chiedo questo, tuttavia vorrei capire se quel passaggio in cui ho usato il teorema del confronto per successioni mi permetta di sostituire lo 0 poi nel limite, anche se vi è una somma (la paura mi nasce perché con i limiti notevoli non si può sempre fare) capirlo potrebbe essermi utile in esercizi futuri.
Mille grazie
[EDIT]
Scusate il qualche bisticcio di parentesi che non riesco bene ad aggiustare
spero di non andare contro nessuna liena guida se posto una seconda domanda anche se nell'altra non ho ancora ricevuto risposta. Nel qual caso mi scuso e non capiterà piu'
Vorrei potervi chiedere se il seguente svolgimento è giusto, nel particolare quando applico il teorema del confronto, non capisco se si possa usare con somme di funzioni, vi mostro il mio svolgimento:
$lim_(x->∞) log(3^n+cos(3^n))/n=lim_(x->∞) log(3^n+cos(3^n))^(1/n)$ ora divido e moltiplico per $3^n$ $lim_(x->∞) log((3^n+cos(3^n))*3^n/3^n)))^(1/n)=lim_(x->∞) log((1+cos(3^n)/3^n))*3^n))^(1/n)$
Ed essendo $lim_(x->∞) cos(3^n)/3^n=0$ per il confronto, avrei
$lim_(x->∞) log((1+0)*(3^n))^(1/n)=lim_(x->∞) log(3^n)^(1/n)=log3$
Ho poi visto che c'è una soluzione più semplice, io non chiedo questo, tuttavia vorrei capire se quel passaggio in cui ho usato il teorema del confronto per successioni mi permetta di sostituire lo 0 poi nel limite, anche se vi è una somma (la paura mi nasce perché con i limiti notevoli non si può sempre fare) capirlo potrebbe essermi utile in esercizi futuri.
Mille grazie
[EDIT]
Scusate il qualche bisticcio di parentesi che non riesco bene ad aggiustare
Risposte
Ciao smirne,
No, la soluzione che hai proposto non è corretta: quando si passa al limite si passa al limite, non puoi farlo solo per il "pezzo" che ti fa comodo. Io qui avrei raccolto il $3^n$ nell'argomento del logaritmo:
$lim_{n \to +\infty} log[3^n+cos(3^n)]/n= lim_{n \to +\infty} frac{log 3^n + log[1+cos(3^n)/3^n]}{n} = lim_{n \to +\infty} log 3 + frac{log[1+cos(3^n)/3^n]}{n} = $
$ = lim_{n \to +\infty} log 3 + lim_{n \to +\infty} frac{log[1+cos(3^n)/3^n]}{n} = log 3 $
dato che non è difficile comprendere che il secondo limite vale $0 $.
No, la soluzione che hai proposto non è corretta: quando si passa al limite si passa al limite, non puoi farlo solo per il "pezzo" che ti fa comodo. Io qui avrei raccolto il $3^n$ nell'argomento del logaritmo:
$lim_{n \to +\infty} log[3^n+cos(3^n)]/n= lim_{n \to +\infty} frac{log 3^n + log[1+cos(3^n)/3^n]}{n} = lim_{n \to +\infty} log 3 + frac{log[1+cos(3^n)/3^n]}{n} = $
$ = lim_{n \to +\infty} log 3 + lim_{n \to +\infty} frac{log[1+cos(3^n)/3^n]}{n} = log 3 $
dato che non è difficile comprendere che il secondo limite vale $0 $.
Grazie per la risposta, era proprio quello che andavo cercando.
Son contento che almeno mi confermi il mio secondo modo di risolvere che è corretto però in un primo momento non l'avevo visto e avevo risolto come in apertura del thread e devo dire che risultandomi coincidenti non capivo se era fortuna o se comunque potessi usare "a pezzi" il teorema del confronto e poi fare una sorta di "sostituzione" del valore ottenuto.
Insomma è stata pura fortuna
Una sola cosa, quando svolgo questo passaggio di spezzare il limite lo posso fare perché i due limiti hanno risultato finito, perché se fosse uno + o - infinito il risultato del secondo termine non potrei, giusto?
$lim_{n \to +\infty} log 3 + frac{log[1+cos(3^n)/3^n]}{n}= lim_{n \to +\infty} log 3 + lim_{n \to +\infty} frac{log[1+cos(3^n)/3^n]}{n}$
Questo perché mentre log3+0 ha senso, avere invece se il secondo addendo fosse infinito come risultato del limite, log3+infinito non avrebbe senso nei reali.
-------------------
[EDIT]
Svolgendo un altro esercizio arrivo al termine $lim_(n->\infty) log(1+sin(n)/n^3)$ ho dovuto guardare questo passaggio perché per quanto dicevamo prima non posso usare il confronto nel solo pezzo che mi serve però il libro scrive $lim_(n->\infty) log(1+sin(n)/n^3)=log1=0$ ma non è come avesse fatto $lim_(n->\infty) log(1+0)=log1=0$ esattamente come ho fatto prima?
Cioè ha usato un confronto impropriamente?
Spero mi riesca a chiarire le due domande del post, scusami ma ci sto impazzendo
Son contento che almeno mi confermi il mio secondo modo di risolvere che è corretto però in un primo momento non l'avevo visto e avevo risolto come in apertura del thread e devo dire che risultandomi coincidenti non capivo se era fortuna o se comunque potessi usare "a pezzi" il teorema del confronto e poi fare una sorta di "sostituzione" del valore ottenuto.
Insomma è stata pura fortuna
Una sola cosa, quando svolgo questo passaggio di spezzare il limite lo posso fare perché i due limiti hanno risultato finito, perché se fosse uno + o - infinito il risultato del secondo termine non potrei, giusto?
$lim_{n \to +\infty} log 3 + frac{log[1+cos(3^n)/3^n]}{n}= lim_{n \to +\infty} log 3 + lim_{n \to +\infty} frac{log[1+cos(3^n)/3^n]}{n}$
Questo perché mentre log3+0 ha senso, avere invece se il secondo addendo fosse infinito come risultato del limite, log3+infinito non avrebbe senso nei reali.
-------------------
[EDIT]
Svolgendo un altro esercizio arrivo al termine $lim_(n->\infty) log(1+sin(n)/n^3)$ ho dovuto guardare questo passaggio perché per quanto dicevamo prima non posso usare il confronto nel solo pezzo che mi serve però il libro scrive $lim_(n->\infty) log(1+sin(n)/n^3)=log1=0$ ma non è come avesse fatto $lim_(n->\infty) log(1+0)=log1=0$ esattamente come ho fatto prima?
Cioè ha usato un confronto impropriamente?
Spero mi riesca a chiarire le due domande del post, scusami ma ci sto impazzendo
Beh, sussistono ben noti teoremi sul limite di una somma, puoi dare un'occhiata sul tuo libro di testo o ad esempio qui:
https://www.matematicamente.it/appunti/limiti/operazioni-sui-limiti
No, il libro ha ragione, non vedo grosse differenze con l'esempio precedentemente citato. Infatti si ha:
$ lim_{n \to +\infty} log[1+cos(3^n)/3^n] = lim_{n \to +\infty} log[1+sin(n)/n^3] = log 1 = 0 $
Anche qui sussistono ben noti teoremi al riguardo che ti inviterei a rivedere.
https://www.matematicamente.it/appunti/limiti/operazioni-sui-limiti
"smirne":
ma non è come avesse fatto [...] esattamente come ho fatto prima?
No, il libro ha ragione, non vedo grosse differenze con l'esempio precedentemente citato. Infatti si ha:
$ lim_{n \to +\infty} log[1+cos(3^n)/3^n] = lim_{n \to +\infty} log[1+sin(n)/n^3] = log 1 = 0 $
Anche qui sussistono ben noti teoremi al riguardo che ti inviterei a rivedere.
"pilloeffe":
Beh, sussistono ben noti teoremi sul limite di una somma, puoi dare un'occhiata sul tuo libro di testo o ad esempio qui:
https://www.matematicamente.it/appunti/limiti/operazioni-sui-limiti
Esatto
, intendevo che non posso spezzarlo perché non è finito il risultato, ma posso usare la tecnica esposta nel link (il mio libro la chiama algebra degli infiniti" o dei corrispettivi "infinitesimi"."pilloeffe":
[quote="smirne"]ma non è come avesse fatto [...] esattamente come ho fatto prima?
No, il libro ha ragione, non vedo grosse differenze con l'esempio precedentemente citato. Infatti si ha:
$ lim_{n \to +\infty} log[1+cos(3^n)/3^n] = lim_{n \to +\infty} log[1+sin(n)/n^3] = log 1 = 0 $[/quote]
In realtà mi è sorto il dubbio anche sul caso precedente infatti, più che altro perché mi accorgo che
Nel mio primo svolgimento che postai scrivevo: $lim_(x->∞) log((1+0)*(3^n))^(1/n)=lim_(x->∞) log(3^n)^(1/n)=log3$ e mi hai spiegato che non si può fare perché quello zero arriva da un confronto utilizzato su un solo pezzo del limite e non mando tutto al limite in "contemporanea" (passami il termine
)Ora quando sono al fatidico passaggio $ lim_{n \to +\infty} log[1+cos(3^n)/3^n] = lim_{n \to +\infty} log(1+0)=log(1)=0$ anche qui non ho usato il confronto solo su un pezzo? Precisamente uso il confronto su $cos(3^n)/3^n$ che mi dice che va a zero e poi finisco il limite in un secondo momento.
Non riesco cioè a cogliere la differenza tra le due procedure che ho scritto e di sicuro sbaglierei, cosa che vorrei evitare capendo a fondo. Spero almeno di esser stato chiaro sul dubbio
Grazie.
Come per i prodotti, vale anche per le somme: il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti, se questa non dà origine ad una forma indeterminata. Quindi non puoi mandare al limite solo un pezzo della funzione che si trova dentro al limite, devi prima separare in due limiti distinti, poi puoi mandare l'incognita al limite su un addendo alla volta.
Grazie per avermi risposto
Ma io mi chiedo qui, non èsempre su un pezzo?
Buona domenica
"smirne":
Ora quando sono al fatidico passaggio $ lim_{n \to +\infty} log[1+cos(3^n)/3^n] = lim_{n \to +\infty} log(1+0)=log(1)=0$ anche qui non ho usato il confronto solo su un pezzo? Precisamente uso il confronto su $cos(3^n)/3^n$ che mi dice che va a zero e poi finisco il limite in un secondo momento.
Ma io mi chiedo qui, non èsempre su un pezzo?
Buona domenica
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