Limite successione e altro
Buongiorno, sono una nuova utente per cui colgo l'occasione per dire due parole su di me. Sono una studentessa universitaria e sebbene non mi sia richiesto di studiare matematica in modo troppo "serio", mi sto appassionando molto alla materia.
Avrei bisogno dell'aiuto di qualcuno per trovare risposta ad alcuni dubbi/curiosità... per cui mi sono iscritta. Spero di non scocciarvi troppo con le mie domande banali.
In particolare, vorrei sapere dove trovare due cose:
1) la dimostrazione della seguente proprietà delle successioni
$\lim_{n \to \infty}a_n^(1/n) = \lim_{n \to \infty}(a_n/a_(n+1))$
2) la dimostrazione per via algebrica di
$|a-b|>=|a|-|b|$
[size=200]GRAZIE[/size]
Avrei bisogno dell'aiuto di qualcuno per trovare risposta ad alcuni dubbi/curiosità... per cui mi sono iscritta. Spero di non scocciarvi troppo con le mie domande banali.
In particolare, vorrei sapere dove trovare due cose:
1) la dimostrazione della seguente proprietà delle successioni
$\lim_{n \to \infty}a_n^(1/n) = \lim_{n \to \infty}(a_n/a_(n+1))$
2) la dimostrazione per via algebrica di
$|a-b|>=|a|-|b|$
[size=200]GRAZIE[/size]
Risposte
Ciao Cimice e benvenuta sul forum, cosa studi?
Affinchè le tue curiosità possano essere soddisfatte è necessario che tu esponga le tue idee così da poterti proficuamente confrontare con gli altri utenti.
"Grazie" mettilo in dimensioni normali: mi hai sfondato i timpani!
Affinchè le tue curiosità possano essere soddisfatte è necessario che tu esponga le tue idee così da poterti proficuamente confrontare con gli altri utenti.
"Grazie" mettilo in dimensioni normali: mi hai sfondato i timpani!
Ciao,e benvenuta in questo Forum!
Nessuna scocciatura e,anzi,la curiosità è generalmente aspetto molto apprezzato;
per quanto riguarda la prima ti faccio intanto notare che andrebbe riscritta in modo da coprire tutti i casi possibili
(anche quello in cui uno dei due non esista,come ad esempio accade,al primo ma non al secondo,se $a_n=(-1)^n*n$ $AAn inNN$),
e poi che è sbagliata perchè,ad ex,posto $a_n=n^n$ $AAn inNN$ avresti che $EElim_(n to +oo)(n^n)/((n+1)^(n+1))=lim_(n to oo)(n^n)^(1/n)=(lim_(n to oo)n^1=)+oo$,
in contrasto col teorema d'unicità del limite e col fatto che
$EElim_(n to oo)(n^n)/((n+1)^(n+1))=lim_(n to oo)(n^n)/((n+1)^n(n+1))=lim_(n to oo)(n/(n+1))^n1/(n+1)=..=1/e*0=0$:
riscrivila per bene
(così nel frattempo fai pratica e conoscenza con l'editor,che ti sarà certo utile pure se hai ben esordito..),
e per la dimostrazione ne riparliamo!
Per la seconda osserva che $|a|=|(a-b)+b|<=|a-b|+|b|$ $AAa,b inRR$
(per la prima disuguaglianza triangolare,della quale se vuoi riparleremo):
cosa puoi dedurne?
Saluti dal web.
@Giò.
Mi sà che studia Farmacia,Biologia o Economia,
e quella dimostrazione sui limiti è un pò fuori programma:
se riuscisse ad impostarla sola ne sarei ben sorpreso,ed a quel punto non credo avrebbe davvero bisogno di noi..
Nessuna scocciatura e,anzi,la curiosità è generalmente aspetto molto apprezzato;
per quanto riguarda la prima ti faccio intanto notare che andrebbe riscritta in modo da coprire tutti i casi possibili
(anche quello in cui uno dei due non esista,come ad esempio accade,al primo ma non al secondo,se $a_n=(-1)^n*n$ $AAn inNN$),
e poi che è sbagliata perchè,ad ex,posto $a_n=n^n$ $AAn inNN$ avresti che $EElim_(n to +oo)(n^n)/((n+1)^(n+1))=lim_(n to oo)(n^n)^(1/n)=(lim_(n to oo)n^1=)+oo$,
in contrasto col teorema d'unicità del limite e col fatto che
$EElim_(n to oo)(n^n)/((n+1)^(n+1))=lim_(n to oo)(n^n)/((n+1)^n(n+1))=lim_(n to oo)(n/(n+1))^n1/(n+1)=..=1/e*0=0$:
riscrivila per bene
(così nel frattempo fai pratica e conoscenza con l'editor,che ti sarà certo utile pure se hai ben esordito..),
e per la dimostrazione ne riparliamo!
Per la seconda osserva che $|a|=|(a-b)+b|<=|a-b|+|b|$ $AAa,b inRR$
(per la prima disuguaglianza triangolare,della quale se vuoi riparleremo):
cosa puoi dedurne?
Saluti dal web.
@Giò.
Mi sà che studia Farmacia,Biologia o Economia,
e quella dimostrazione sui limiti è un pò fuori programma:
se riuscisse ad impostarla sola ne sarei ben sorpreso,ed a quel punto non credo avrebbe davvero bisogno di noi..
"Cimice":
In particolare, vorrei sapere dove trovare due cose:
1) la dimostrazione della seguente proprietà delle successioni
$\lim_{n \to \infty}a_n^(1/n) = \lim_{n \to \infty}(a_n/a_(n+1))$
Occhio che l'uguaglianza corretta è:
\[
\lim_n \sqrt[n]{a_n} = \lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}\; .
\]
E, comunque, tale uguaglianza vale solo nell'ipotesi in cui il secondo limite esista... Altrimenti non vale, in generale.
Infatti, presa la successione:
\[
a_n:=\begin{cases} \frac{1}{2^n} &\text{, se } n \text{ è pari}\\
\frac{1}{2^{n-1}} &\text{, se } n \text{ è dispari}\end{cases}
\]
hai:
\[
\frac{a_n}{a_{n+1}} := \begin{cases} \frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^n}} = 1 &\text{, se } n \text{ è pari}\\
\frac{\frac{1}{2^{n-1}}}{\frac{1}{2^{n+1}}} = 4 &\text{, se } n \text{ è dispari}
\end{cases}
\]
quindi il \(\lim_n \frac{a_n}{a_{n+1}}\) non esiste, nonostante si abbia \(\lim_n \sqrt[n]{a_n}=1/2\).
Alla fin fine, si stratta di dimostrare la seguente cosa:
Sia \((a_n)\) una successione di numeri positivi.
Se esiste il:
\[
\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}\; ,
\]
allora esiste pure il:
\[
\lim_n \sqrt[n]{a_n}
\]
ed i due limiti sono uguali.
Questo teorema lo trovi sui vecchi libri di Analisi; se non erro è un'applicazione standard dei Teoremi di Cesàro sulle medie aritmetiche e geometriche.
Se non lo trovi, ne riparliamo.
"Cimice":
2) la dimostrazione per via algebrica di
$|a-b|>=|a|-|b|$
Basta applicare le disuguaglianza triangolare per maggiorare i secondi membri delle uguaglianze:
\[
|a| = |(a-b)+b| \qquad \text{e} \qquad |b|=|(b-a)+a|\; .
\]
Grazie, siete stati molto gentili a rispondermi 
Vorrei sapere ancora una cosa, se non è chiedere troppo.
È possibile applicate il teorema del confronto per stabilire un limite per x che tende ad infinito utilizzando come "carabinieri" funzioni non continue?
Vorrei sapere ancora una cosa, se non è chiedere troppo.
È possibile applicate il teorema del confronto per stabilire un limite per x che tende ad infinito utilizzando come "carabinieri" funzioni non continue?
Scusate il doppio post, ma non sono stata precisa nella domanda. Intendevob discontinuità periodiche come ad esempio quelle della funzione parte intera.
Il teorema dei carabinieri vale in ipotesi molto più deboli della continuità: basta la regolarità (i.e., l'esistenza del limite) delle funzione minorante e maggiorante in un comune punto di accumulazione.
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