Limite successione?

[dribusen]

ciao a tutti...chiedo ancora il vostro aiuto...in realtà credo che chiederò molto questi giorni :lol :lol
ho questa successione di cui devo calcolare il limite ma non so dove sbattere la testa. ho visto le soluzioni ma fa una cosa stranissima. x questo vi chiedo se mi potete spiegare come si risolve. Grazie a tutti:):)

[math](1+\frac{1}{n})^{\frac{3}{\cos{\frac{1}{\sqrt{n}}-1}}}[/math]

[davi02]

Devi calcolare

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{3}{\cos{\frac{1}{\sqrt{n}}-1}}} [/math]

Sostituisci

[math]1/n = x^2[/math]

[math]L = \lim_{x \to 0^+} (1+x^2)^{\frac{3}{\cos x - 1}} [/math]

Prendi il logaritmo della funzione

[math]\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{3 \ln(1+x^2)}{\cos x - 1}[/math]

Per la regola di L’Hopital

[math]\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{6x}{1+x^2}}{- \sin x} =

\lim_{x \to 0^+} -\frac{6}{1+x^2}\frac{x}{ \sin x} = -6[/math]

Quindi

[math] L = e^{-6}[/math]