Limite successione

[CarlCarl]

Ciao a tutti !!
Avrei dei dubbi su questo esercizio : $ lim_(n -> oo ) (e^(1/n)-cos(n))/n $
Io avevo pensato di risolverlo così : $ (e^(1/n)-cos(n))/n = (1-cos(n))/n + (e^(1/n)-1)/n $ $ = n (1-cos(n))/n^2 + (e^(1/n)-1)/(1/n)*1/n^2 $ e quindi usando i limiti notevoli $ lim_(n -> oo ) (1-cos(n))/n^2 = 1/2 $ e $ lim_(n -> oo ) (e^(1/n)-1)/(1/n) = 1 $ ottengo $ lim_(n -> oo ) n/2+1/n^2 $ che fa infinito mentre il risultato del limite deve essere 0.
Dov'è l'errore ?
Grazie mille

[Noisemaker]

"Flanders": $ lim_(n -> oo ) (1-cos(n))/n^2 = 1/2 $

...sicuro?

[Sk_Anonymous]

L'errore sta nel porre \(\displaystyle \lim_{n->\infty} \frac{1-\cos n}{n^2} =\frac{1}{2}\)
In realtà quel limite è vero solo se la variabile n tende a 0, non a infinito!
Serve un cambio di variabile . Inoltre c'è da dimostrare che quei limiti notevoli che hai adoperato valgono anche quando la variabile in giogo prende valori discreti invece che continui...

[CarlCarl]

Ok ho capito , quindi essendo $ lim_(n -> oo ) (1-cos(n))/n = lim_(n -> oo ) 1/n - cos(n)/n = 0 $ e essendo $ lim_(n -> oo ) (e^(1/n)-1)/n = 0 $ potendo in questo caso usare il limite notevole visto che l'argomento $ 1/n $ tende a 0 possiamo dire che il limite è uguale a 0.
Così può andar bene ?

[Noisemaker]

no questo non va bene per i motivi che dici tu, ma perchè
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{n}= \lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}} }{n} -\frac{ 1}{n} =0
\end{align}

poi rileggiti l'osservazione di ciromario, circa l'ultilizzo dei limiti notevoli nel discreto andrebbe mostrato; in ogni caso puoi osservare che

\begin{align}
0\le \left|\frac{e^{\frac{1}{n}}-\cos n}{n}\right|\le\frac{e^{\frac{1}{n}}+ \left|\cos n\right|}{n}\le\frac{e^{\frac{1}{n}}+ 1}{n}\to 0
\end{align}

e quindi concludere per confronto

[CarlCarl]

Grazie !!