Limite subdolo

[LoreT314]

Ciao ragazzi io avrei un dubbio
Calcoliamo $lim_(x->0) (sinx-x+2x^5)/(3x^3)$
Sapendo che $sinx~x$ per $x->0$ io lo sostituisco nell'espressione ottenendo così $lim_(x->0) (2x^5)/(3x^3)=lim_(x->0) 2/3x^2=0$
Il fatto è che applicando gli sviluppi di Taylor il limite mi viene $-1/18$ (che è il risultato corretto)
Mi sono quindi chiesto dove sia l'errore nel primo metodo e se io inconsapevolmente lo svolga anche nel calcolo di altri limiti.

[feddy]

La differenza $\sin(x) - x$ è il problema. Queste due funzioni, al prim'ordine , coincidono per $x \rarr 0$, ma, appunto, espandendo il seno con Taylor hai che questa differenza è $\frac{x^3}{6} + o(x^3)$.

La morale è che quando si hanno questi casi di somme e differenze che al prim'ordine non danno infromazioni conviene, se si vuole svolgere correttamente l'esercizio, espandere in serie di Taylor. (Che ovviamente al prim'ordine coincide coi noti limiti notevoli)

[Obidream]

"LoreT314":Ciao ragazzi io avrei un dubbio
Calcoliamo $lim_(x->0) (sinx-x+2x^5)/(3x^3)$
Sapendo che $sinx~x$ per $x->0$ io lo sostituisco nell'espressione

Se lo sostituisci in quel modo ti perdi "un pezzo".
Per $x->0 sin(x) = x +o(x)$, se vuoi provare a sostituire devi metterci anche l'o-piccolo ma come è già stato detto conviene arrivare al terzo ordine visto il cubo al denominatore