Limite strano
Ragazzi ho difficolta con questo limite..
$lim x->0 (ln(sinx)-lnx)/(x-sqrtxarctansqrtx)$
Su wolfram alpha il limite dice che deve trovarsi $1/2$
ho individuato la forma $0/0$
ma non trovo altro modo se non lo sviluppo in serie.. che comunque non so come fare
è possibile svolgerlo senza svilupparlo in serie di talylor?
Grazie per l'aiuto
$lim x->0 (ln(sinx)-lnx)/(x-sqrtxarctansqrtx)$
Su wolfram alpha il limite dice che deve trovarsi $1/2$
ho individuato la forma $0/0$
ma non trovo altro modo se non lo sviluppo in serie.. che comunque non so come fare
è possibile svolgerlo senza svilupparlo in serie di talylor?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Ti chiedo scusa, ma se non con gli sviluppi di Taylor ignoro come si possa risolvere :/ Se ti accontenti, vediamo come svolgerli in questo senso:
Innanzitutto, il numeratore può essere scritto come:
$ln(sinx)-ln(x)=ln(sinx/x)$
Sviluppiamo il seno fino al terzo ordine:
$sinx\approx x-x^3/6$
In questo modo, nel logaritmo appare:
$ln(1-x^2/6) \approx -x^2/6$
Dove ho applicato lo sviluppo del logaritmo:
$ln(1+z)\approx z $
Troncato al primo ordine. Per quanto riguarda il denominatore, capirai che non puoi sviluppare quell'arcotangente al primo ordine, poiché otterresti uno 0 al denominatore. Ti ricordo che lo sviluppo dell'arcotangente è:
$arctgz\approx z-z^3/3$
Perciò:
$arctg\sqrt(x) \approx \sqrt(x)-(x\sqrt(x))/3$
Sostituendo otteniamo:
$(-x^2/6)/(x-\sqrt(x)(\sqrt(x)-(x\sqrt(x))/3)) = -1/2 $
Che è il risultato di Wolfram
Ho messo un + ai valori assoluti in quanto ho dato per scontato tendessa a 0 da destra, per non dare problemi ai domini dei logaritmi.
Innanzitutto, il numeratore può essere scritto come:
$ln(sinx)-ln(x)=ln(sinx/x)$
Sviluppiamo il seno fino al terzo ordine:
$sinx\approx x-x^3/6$
In questo modo, nel logaritmo appare:
$ln(1-x^2/6) \approx -x^2/6$
Dove ho applicato lo sviluppo del logaritmo:
$ln(1+z)\approx z $
Troncato al primo ordine. Per quanto riguarda il denominatore, capirai che non puoi sviluppare quell'arcotangente al primo ordine, poiché otterresti uno 0 al denominatore. Ti ricordo che lo sviluppo dell'arcotangente è:
$arctgz\approx z-z^3/3$
Perciò:
$arctg\sqrt(x) \approx \sqrt(x)-(x\sqrt(x))/3$
Sostituendo otteniamo:
$(-x^2/6)/(x-\sqrt(x)(\sqrt(x)-(x\sqrt(x))/3)) = -1/2 $
Che è il risultato di Wolfram
Ho messo un + ai valori assoluti in quanto ho dato per scontato tendessa a 0 da destra, per non dare problemi ai domini dei logaritmi.
Crossposting. Risolto anche nell'altro thread. Si vede che vuol far lavorar la gente ...
Scusate
Chiedo scusa, non l'avevo proprio notato :[
"Lele0012":
Chiedo scusa, non l'avevo proprio notato :[
non devi chiedere scusa tu...
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