Limite strano

[Riccardo Desimini]

Voglio stabilire se la restrizione della funzione costante \( f \) definita da \( f(x) = 1 \) all'insieme \( \mathbb{R} \setminus \lbrace 2k\pi,\, k \in \mathbb{Z} \rbrace \) ammette asintoto orizzontale.

Secondo me no, perché non riesco a trovare un "intorno" di infinito che soddisfi la definizione.

Cosa ne pensate?

[Seneca1]

Che definizione hai di asintoto orizzontale?

[Riccardo Desimini]

Dico che \( f \) ammette asintoto orizzontale per \( x \rightarrow +\infty \) se accade che
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}\ f(x) = l \in \mathbb{R} \]
Analogo discorso per \( x \rightarrow -\infty \).

[Seneca1]

Nella definizione di limite (che ho sempre usato io) c'è la precauzione di intersecare l'intorno di infinito con il dominio della funzione (in questo caso quella ristretta, che non è tutta la retta reale).
Quindi a me pare che quella restrizione abbia limite $1$ per $x -> +oo$.

Diverso sarebbe stato se avessi ridefinito la $f$ come segue:
\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{ se } x \notin \{ 2k \pi , k \in \mathbb{Z} \} \\ 2 & \text{ se } x \in \{ 2k \pi , k \in \mathbb{Z} \}
\end{cases} \]

Questa $\tilde{f}$ non ha limite per $x -> oo$.

[Riccardo Desimini]

Ok, mi hai fatto capire che in realtà mi interessava il caso di \( \tilde{f} \).

In realtà non riesco a capire perché una funzione periodica non possa avere asintoti orizzontali e/o obliqui (dal punto di vista formale, ovviamente: dal punto di vista intuitivo è quasi ovvio).

[Seneca1]

Prova a dimostrarlo. Supponi di avere una funzione periodica definita su $RR$ di periodo $T_0 > 0$ e dimostra che non può avere limite per $x -> +oo$.

[Riccardo Desimini]

Dunque, per definizione di limite avrei
\[ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : x > \delta \Rightarrow \vert\, f(x) - l\, \vert < \epsilon \]
Fin qui tutto ok, ma non riesco a capire come utilizzare l'informazione che \( f \) è periodica di periodo \( T_0 > 0 \).

[Seneca1]

Così procedi per assurdo... Io invece comincerei così: Sia $y \in (0, T_0)$ tale che $f(y) \ne f(0)$. Poiché $f$ è periodica, $f(y + nT_0) = f(y)$ mentre $f(nT_0) = f(0)$, $\forall n \in NN$. Quindi il limite non esiste, per il teorema di unicità del limite.