Limite serie di potenze

[lorenzo1234567]

Buonasera, ho la seguente serie di cui devo calcolare il raggio di convergenza $sum_(n = 0)^infty (1+2/n)^(n^2)x^n$. Utilizzando il criterio della radice ($lim_(n -> infty) root(n)(|(1+2/n)^(n^2)|)$) dovrei ottenere $e^2$ però non capisco quali manipolazioni debba fare per arrivare al limite notevole.

[pilloeffe]

Ciao Lorenzo_99,

Innanzitutto la serie non può partire da $n = 0 $ perché si annullerebbe il denominatore della frazione $2/n $, per cui si assumerà che la serie proposta sia la seguente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} (1+2/n)^(n^2)x^n $

Poi nel limite che hai proposto si può tranquillamente omettere il valore assoluto, trattandosi di quantità senz'altro positive. Per cui si ha:

$\lim_{n \to +\infty} root(n)(|(1+2/n)^(n^2)|) = \lim_{n \to +\infty} root(n)((1+2/n)^(n^2)) = \lim_{n \to +\infty} (1+2/n)^(n^2/n) = \lim_{n \to +\infty} (1+2/n)^n = e^2 $

Per ottenere l'ultima eguaglianza puoi o fare uso direttamente del limite notevole $ \lim_{x \to +\infty} (1+a/x)^x = e^a $ (ove nel caso in esame $a = 2$) oppure scrivere:

$ \lim_{n \to +\infty} (1+2/n)^n = \lim_{n \to +\infty} [(1+1/(n/2))^{n/2}]^2 \stackrel[m := n/2]{=} \lim_{m \to +\infty} [(1+1/m)^m]^2 = e^2 $

[lorenzo1234567]

"pilloeffe":Ciao Lorenzo_99,

Innanzitutto la serie non può partire da $n = 0 $ perché si annullerebbe il denominatore della frazione $2/n $, per cui si assumerà che la serie proposta sia la seguente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} (1+2/n)^(n^2)x^n $

Ho ricontrollato e la serie parte effettivamente da 0...poi non so...

"pilloeffe":
Poi nel limite che hai proposto si può tranquillamente omettere il valore assoluto, trattandosi di quantità senz'altro positive. Per cui si ha:

$\lim_{n \to +\infty} root(n)(|(1+2/n)^(n^2)|) = \lim_{n \to +\infty} root(n)((1+2/n)^(n^2)) = \lim_{n \to +\infty} (1+2/n)^(n^2/n) = \lim_{n \to +\infty} (1+2/n)^n = e^2 $

Per ottenere l'ultima eguaglianza puoi o fare uso direttamente del limite notevole $ \lim_{x \to +\infty} (1+a/x)^x = e^a $ (ove nel caso in esame $a = 2$) oppure scrivere:

$ \lim_{n \to +\infty} (1+2/n)^n = \lim_{n \to +\infty} [(1+1/(n/2))^{n/2}]^2 \stackrel[m := n/2]{=} \lim_{m \to +\infty} [(1+1/m)^m]^2 = e^2 $

In realtà quello che non riuscivo a vedere era $n^2$ come $n*n$ per cui non riuscivo a togliere la radice e mantenere il limite notevole allo stesso tempo. Grazie