Limite senza uso di de L'Hopital
Ragazzi come si fa questo limite: $lim_xrarr0 (sinx/x)^(1/x)$? Il suggerimento del prof è di utilizzare il limite notevole per $xrarr0$ di $(x-sinx)/x^3$ che è $1/6$.
Grazie.
Grazie.
Risposte
Io penserei a $(1+1/y)^y\toe$ per $y\toinfty$.
Occhio dissonance, per $y \to 0^+$ quella roba lì tende a $1$...
grazie Tipper, ho avuto una svista 
. Comunque confermo il suggerimento (come sempre, da prendere con le pinze!).
. Comunque confermo il suggerimento (come sempre, da prendere con le pinze!).
Ci avevo pensato anch'io ma non so come sfruttarlo in questo caso.
Io l'ho trasformato in esponenziale e la nostra $f(x)$ diventa $e^((1/x)log(sinx/x))$
per $x-> 0$ $sinx$ possiamo approssimarlo a $x$ quindi diventerebbe $log(1)$ dunque $0$
quindi diventerebbe $e^0 = 1$
per $x-> 0$ $sinx$ possiamo approssimarlo a $x$ quindi diventerebbe $log(1)$ dunque $0$
quindi diventerebbe $e^0 = 1$
Ok però abbiamo sempre una forma indeterminata..
Dove? Una volta che siamo arrivati a $log(1)$, noi sappiamo che è $0$, non che tende a zero, quindi anche se abbiamo a denominatore $x->0$, a nominatore abbiamo $0$, che è $0$ e basta! Io ho ragionato così, spero di non sbagliarmi che tra qualche giorno ho l'esame e se sbaglio mi sparo su un piede 
Non ti sparare su un piede però dobbiamo moltiplicare tutto per $1/x$ con $xrarr0$..
"delca85":
Non ti sparare su un piede però dobbiamo moltiplicare tutto per $1/x$ con $xrarr0$..
noi abbiamo $e^((1/x)*log(sinx/x))$ giusto.... ok
per $x->0$ $sinx$ è approssimabile a $0$
ora ci ritroviamo con $e^((1/x)*log(x/x))$ dove $x/x$ è ovviamente $1$! il logaritmo di $1$ non tende a $0$, ma è proprio $0$, dunque $0/x$, con $x->0$!
ma siccome la $x$ viene da valori che non sono $0$, ma si avvicinano a $0$ non è una forma indeterminata, perchè a nominatore c'è lo $0$ del logaritmo che annulla tutta la funzione! quindi ci ritroviamo con $e^0$
scusate se riporto in vita questo topic... in questo momento non ho molto tempo ma volevo segnalare che il procedimento seguito da clockover non mi pare corretto, anche se il risultato lo è.
In due parole, io farei così: il professore di delca85 voleva segnalare, in sostanza, che $sinx/x-1$ è un infinitesimo del 2° ordine. Aggiungiamo il risultato secondo cui $log(1+t)/t\to1$ per $t\to0$, quindi il logaritmo con argomento che tende a 1 è un infinitesimo del 1° ordine. Perciò $log(sinx/x)$ è un infinitesimo ed è del 2° ordine, come si verifica facilmente. Di conseguenza $log(sinx/x)/x\to0$ da cui il risultato finale.
(Il concetto è lo stesso di quello che dice clockover, in ultima analisi).
Oppure, io avrei fatto così:
sappiamo che $sinx/x\to1$ per $x\to0$, e che $1-sinx/x$ è un infinitesimo del 2° ordine. Scriviamo $g(x)=1-sinx/x$. Allora abbiamo $(sinx/x)^(1/x)=(1+g(x))^(1/x)$. Moltiplichiamo e dividiamo l'esponente per $1/(g(x))$: $(1+g(x))^(1/(g(x))*g(x)/x)$. Da un famoso limite notevole abbiamo che $(1+g(x))^(1/(g(x))) \toe$, e dal fatto che $g$ è infinitesimo di ordine superiore ad $x$, $g(x)/x\to0$. Quindi il risultato finale è $1$.
Ricordo per un'ulteriore volta di controllare ogni passaggio, non garantisco che non ci siano erroracci.
In due parole, io farei così: il professore di delca85 voleva segnalare, in sostanza, che $sinx/x-1$ è un infinitesimo del 2° ordine. Aggiungiamo il risultato secondo cui $log(1+t)/t\to1$ per $t\to0$, quindi il logaritmo con argomento che tende a 1 è un infinitesimo del 1° ordine. Perciò $log(sinx/x)$ è un infinitesimo ed è del 2° ordine, come si verifica facilmente. Di conseguenza $log(sinx/x)/x\to0$ da cui il risultato finale.
(Il concetto è lo stesso di quello che dice clockover, in ultima analisi).
Oppure, io avrei fatto così:
sappiamo che $sinx/x\to1$ per $x\to0$, e che $1-sinx/x$ è un infinitesimo del 2° ordine. Scriviamo $g(x)=1-sinx/x$. Allora abbiamo $(sinx/x)^(1/x)=(1+g(x))^(1/x)$. Moltiplichiamo e dividiamo l'esponente per $1/(g(x))$: $(1+g(x))^(1/(g(x))*g(x)/x)$. Da un famoso limite notevole abbiamo che $(1+g(x))^(1/(g(x))) \toe$, e dal fatto che $g$ è infinitesimo di ordine superiore ad $x$, $g(x)/x\to0$. Quindi il risultato finale è $1$.
Ricordo per un'ulteriore volta di controllare ogni passaggio, non garantisco che non ci siano erroracci.
Grazie, sei stato chiarissimo e così ho capito anche il perchè di quel suggerimento del prof.
Volevo chiedervi ancora una cosa soltanto, quello che ha scritto clockover non è corretto perchè non si può dire che $sinx/x$ è proprio $1$ e trattarlo come un numero reale, giusto?
Scusate, non voglio essere puntigliosa, solo per capire!
Volevo chiedervi ancora una cosa soltanto, quello che ha scritto clockover non è corretto perchè non si può dire che $sinx/x$ è proprio $1$ e trattarlo come un numero reale, giusto?
Scusate, non voglio essere puntigliosa, solo per capire!
"delca85":
Volevo chiedervi ancora una cosa soltanto, quello che ha scritto clockover non è corretto perchè non si può dire che $sinx/x$ è proprio $1$ e trattarlo come un numero reale, giusto?
Esattamente.
Con il suo ragionamento si arriva a dire una cosa giusta (che $log(sinx/x)/x\to0$). Ma se avessimo aumentato l'esponente al denominatore, per esempio a 4, avremmo ottenuto $log(sinx/x)/x^4\to-infty$ , per $x\to0$ (Sempre per lo stesso motivo: al numeratore un infinitesimo del 2° ordine, al denominatore un infinitesimo del quarto. L'infinito è negativo perché in un intorno di zero $sinx/x$ è più piccolo di 1, e così il logaritmo è negativo mentre $x^4$ è positivo.)
E qui l'errore è in agguato perché considerando $sinx/x$ come una costante, avremmo concluso che il limite era zero.
@delca85
scusa l'errore ero talmente convinto che ci sono rimasto male.... e adesso mi sparo su un piede!
@dissonance
grazie per avermi riportato sulla retta via
scusa l'errore ero talmente convinto che ci sono rimasto male.... e adesso mi sparo su un piede!
@dissonance
grazie per avermi riportato sulla retta via
Se vogliamo seguire il suggerimento del prof possiamo scrivere il limite richiesto anche in questo modo...acrobatico :
L=$lim_(x->0){[(1+1/((x)/(sinx-x)))^(x/(sinx-x))]^([x*(sinx-x)/(x^3)])}$
Ora abbiamo che:
$lim_(x->0) (sinx-x)/x=lim_(x->0)((sinx)/x-1)=0$ e quindi è pure $lim_(x->0)x/(sinx-x)=1/0=oo$ ($+oo$ o $-oo$ a seconda del caso).
Inoltre $ lim_(x->0)[x*(sinx-x)/(x^3)]=0*(-1/6)=0$ e quindi risulta $L=e^0=1$
L=$lim_(x->0){[(1+1/((x)/(sinx-x)))^(x/(sinx-x))]^([x*(sinx-x)/(x^3)])}$
Ora abbiamo che:
$lim_(x->0) (sinx-x)/x=lim_(x->0)((sinx)/x-1)=0$ e quindi è pure $lim_(x->0)x/(sinx-x)=1/0=oo$ ($+oo$ o $-oo$ a seconda del caso).
Inoltre $ lim_(x->0)[x*(sinx-x)/(x^3)]=0*(-1/6)=0$ e quindi risulta $L=e^0=1$
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