Limite senza usare De L' Hopital
Ciao ragazzi, ho un dubbio su questo esercizio: mi chiede di risolvere questo limite senza usare la regola di De L' Hopital. Ho provato di tutto e credo di risolva con Taylor, tuttavia non so come procedere in quanto il limite tende a 2 e non a 0, quindi dovrei fare una sostituzione con t ma non riesco a impostare.
Il limite viene 1/2
$ lim_(x -> 2) (log(root(2)((8+4x)) - 3)/(x-2)) $
Grazie mille e buona serata
Il limite viene 1/2
$ lim_(x -> 2) (log(root(2)((8+4x)) - 3)/(x-2)) $
Grazie mille e buona serata
Risposte
Moltiplica numeriatore e denominatore per $\sqrt(8-4x) + 3$
"feddy":
Moltiplica numeriatore e denominatore per $\sqrt(8-4x) + 3$
Ciao scusami ma avevo sbagliato il testo, mi sono scordato un logaritmo, scusami davvero. Ho corretto
Ora ho capito perché avevi tirato in ballo Taylor.
L'argomento del logaritmo, per $x \rightarrow 2$, tende a $0$. Perciò la cosa migliore è porre $t= x-2$, e usare il noto sviluppo di Taylor del logaritmo
L'argomento del logaritmo, per $x \rightarrow 2$, tende a $0$. Perciò la cosa migliore è porre $t= x-2$, e usare il noto sviluppo di Taylor del logaritmo
La funzione che stai considerando non mi pare che sia non definita in almeno un intorno di $2$.
Sicuro che il limite non sia a $-2$ e che a denominatore ci fosse $x+2$? Il che avrebbe senso considerando che si avrebbe una forma indeterminata
Sicuro che il limite non sia a $-2$ e che a denominatore ci fosse $x+2$? Il che avrebbe senso considerando che si avrebbe una forma indeterminata
"feddy":
Ora ho capito perché avevi tirato in ballo Taylor.
L'argomento del logaritmo, per $x \rightarrow 2$, tende a $0$. Perciò la cosa migliore è porre $t= x-2$, e usare il noto sviluppo di Taylor del logaritmo
Però per usare Taylor al logaritmo devo avere $ (1+f(x)) $ ; potrei sommare e sottrarre 1 al numeratore e a quel punto applicare Taylor. È sbagliato?
"anto_zoolander":
La funzione che stai considerando non mi pare che sia non definita in almeno un intorno di $2$.
Sicuro che il limite non sia a $-2$ e che a denominatore ci fosse $x+2$? Il che avrebbe senso considerando che si avrebbe una forma indeterminata
No ora il testo è giusto, l'intestazione dell'esercizio mi chiede di risolvere il limite senza usare De L'Hopital e quindi la cosa più logica che mi è venuta in mente è di usare gli sviluppi di Taylor, magari sbaglio eh
Ciao gigiros,
Guarda che ha ragione anto_zoolander: se sostituisci $x = 2 $ a numeratore ottieni $log(-3) $ ed il logaritmo non è definito quando l'argomento è negativo...
Invece si ha:
$ lim_{x \to 2} \frac{log(sqrt(8+4x) - 3)}{x-2} = 1/2 $
Guarda che ha ragione anto_zoolander: se sostituisci $x = 2 $ a numeratore ottieni $log(-3) $ ed il logaritmo non è definito quando l'argomento è negativo...
Invece si ha:
$ lim_{x \to 2} \frac{log(sqrt(8+4x) - 3)}{x-2} = 1/2 $
Scusate ma avevo letto il $-3$ fuori dal logaritmo 
"pilloeffe":
Ciao gigiros,
Guarda che ha ragione anto_zoolander: se sostituisci $x = 2 $ a numeratore ottieni $log(-3) $ ed il logaritmo non è definito quando l'argomento è negativo...
Invece si ha:
$ lim_{x \to 2} \frac{log(sqrt(8+4x) - 3)}{x-2} = 1/2 $
Ah oddio si errore mio,
$ lim_{x \to 2} \frac{log(sqrt(8+4x) - 3)}{x-2} $
Però come hai fatto a trovare che viene 1/2 senza applicare De L'Hopital? Non capisco
$lim_(x->2) \frac{log(sqrt(8+4x)-4+1)}{x-2}=lim_(x->2) \frac{log(sqrt(8+4x)-4+1)}{sqrt(8+4x)-4}*\frac{2sqrt(2+x)-4}{x-2}=2lim_(x->2)\frac{sqrt(x-2+4)-2}{x-2}=4*lim_(x->2) (sqrt(\frac{x-2}{4}+1)-1))*\frac{x-2}{4}=4*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Edit: non so perché ma non inserisce bene il denominatore: conta dunque che quel $\frac{x-2}{4}$ è il denominatore finale
Edit: non so perché ma non inserisce bene il denominatore: conta dunque che quel $\frac{x-2}{4}$ è il denominatore finale
@Cantor99
[ot]
Usa le graffe e non le tonde per l'argomento della radice![/ot]
[ot]
"Cantor99":
$lim_(x->2) \frac{log(sqrt(8+4x)-4+1)}{x-2}=lim_(x->2) \frac{log(sqrt(8+4x)-4+1)}{sqrt(8+4x)-4}*\frac{2sqrt(2+x)-4}{x-2}=2lim_(x->2)\frac{sqrt(x-2+4)-2}{x-2}=4*lim_(x->2)\frac{sqrt(
(\frac{x-2}{4}+1)-1}}{ \frac{x-2}{4}} =4*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Edit: non so perché ma non inserisce bene il denominatore: conta dunque che quel $\frac{x-2}{4}$ è il denominatore finale
Usa le graffe e non le tonde per l'argomento della radice![/ot]
"Bremen000":
@Cantor99
[ot][quote="Cantor99"]$lim_(x->2) \frac{log(sqrt(8+4x)-4+1)}{x-2}=lim_(x->2) \frac{log(sqrt(8+4x)-4+1)}{sqrt(8+4x)-4}*\frac{2sqrt(2+x)-4}{x-2}=2lim_(x->2)\frac{sqrt(x-2+4)-2}{x-2}=4*lim_(x->2)\frac{sqrt(
(\frac{x-2}{4}+1)-1}}{ \frac{x-2}{4}} =4*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Edit: non so perché ma non inserisce bene il denominatore: conta dunque che quel $\frac{x-2}{4}$ è il denominatore finale
Usa le graffe e non le tonde per l'argomento della radice![/ot][/quote]
A me appare corretta la sintassi (eccetto che per la frazione finale)
"gigiros":
Però come hai fatto a trovare che viene 1/2 senza applicare De L'Hopital?
Diciamo che avevo fatto quasi come Cantor99, ma ponendo prima $t := x - 2 \implies x = t + 2 $ sicché $t \to 0 $, come suggerito inizialmente da feddy, poi razionalizzando al contrario:
$ lim_{x \to 2} \frac{log(sqrt(8+4x) -3)}{x-2} = lim_{t \to 0} \frac{log(sqrt(4t + 16) - 3)}{t} = lim_{t \to 0} \frac{log(1 + sqrt(4t + 16) - 4)}{t} = $
$ = lim_{t \to 0} \frac{log(1 + sqrt(4t + 16) - 4)}{sqrt(4t + 16) - 4} \cdot frac{sqrt(4t + 16) - 4}{t} = $
$ = lim_{t \to 0} \frac{log(1 + sqrt(4t + 16) - 4)}{sqrt(4t + 16) - 4} \cdot frac{(sqrt(4t + 16) - 4)(sqrt(4t + 16) + 4)}{t(sqrt(4t + 16) + 4)} = $
$ = lim_{t \to 0} \frac{log(1 + sqrt(4t + 16) - 4)}{sqrt(4t + 16) - 4} \cdot frac{4t}{t(sqrt(4t + 16) + 4)} = $
$ = lim_{t \to 0} \frac{log(1 + sqrt(4t + 16) - 4)}{sqrt(4t + 16) - 4} \cdot frac{4}{sqrt(4t + 16) + 4} = $
$ = 1 \cdot frac{4}{sqrt{16}+ 4} = 1/2 $
Grazie mille ragazzi vi amo <3
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