Limite senza Taylor e De L'Hopital

[marcobj99]

Buonasera, ho difficoltà col seguente limite:

$ lim_(x->+infty) x^2-cot^2(1/x) $ il cui risultato è 2/3...

dopo un cambio di variabile e vari passaggi algebrici sono arrivato a concludere che il limite precedente è uguale a

$ 2*(lim_(t->0+) ((sent)/t - cost)/t^2) $ che mi sembra più "semplice" come espressione ma che comunque non riesco a risolvere.. suggerimenti? Chiaramente senza usare i due metodi indicati nel titolo

[Mathita]

Ai miei tempi, il teorema di De l'Hopital era bandito, e a quanto pare ora anche Taylor non è ben visto, chissà per quale motivo...

Una volta arrivato a $2\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\frac{\sin(t)}{t}-\cos(t)}{t^2}$, puoi sommare e sottrarre 1 al numeratore e rielaborare la frazione come

$2\lim_{t\to 0^{+}}\left[\frac{\sin(t)-t}{t^3}+\frac{1-\cos(t)}{t^2}\right]$

Si può dimostrare - (senza Taylor, ne avevamo parlato sul forum non troppo tempo fa) - che la prima frazione tende a $-1/6$, mentre la seconda tende a $1/2$ per il limite notevole del coseno.

Edit: ecco la discussione in cui si disquisiva sul limite con il seno (click).