Limite senza hopital & Taylor

[pepp1995]

$ lim_(x -> +oo ) (sin((2x)/(1+x^2))/ln(1+1/x)) $

Non potendo ricorrere a de l'hopital e agli sviluppi in serie di taylor, ho optato per la sostituzione.
Cercando di ricostruirmi i due limiti notevoli $sinx/x=1$ e $ln(1+f(x))/f(x) =1 $, ho scelto la y in modo che $f(x)$ sia infinitesima , nello specifico $y=1/x$

Tuttavia cosìfacendo l'argomento del seno non viene minimamente scalfito. Allorché ho pensato ad una seconda sostituzione ma non mi viene in mente nulla , consigli?

[M.C.D.1]

$(2x)/(1+x^2)$ tende a $0$ per $x-> +infty$ quindi al numeratore puoi utilizzare proprio quella come tua $f(x)$

[francicko]

È corretto l'utilizzo dei due limiti notevoli che hai proposto, essendo che rispettivamente per $x->+infty $ si ha $(2x)/(1+x^2)->0$ ed $1/x->0$.
Quindi puoi procedere moltiplicando e dividendo per tali quantità rispettivamente a numeratore ed a denominatore, senza alterare il valore del limite, ossia :
$lim_(x->+infty)(((2x)/(1+x^2))sin ((2x)/(1+x^2))/((2x)/(1+x^2)))/((1/x)log(1+1/x)/(1/x)) $ $=lim_(x->+infty)((2x)/(1+x^2)×1)/((1/x)×1) =lim_(x->+infty)$ $..... $ continua tu

[pepp1995]

"francicko":È corretto l'utilizzo dei due limiti notevoli che hai proposto, essendo che rispettivamente per $x->+infty $ si ha $(2x)/(1+x^2)->0$ ed $1/x->0$.
Quindi puoi procedere moltiplicando e dividendo per tali quantità rispettivamente a numeratore ed a denominatore, senza alterare il valore del limite, ossia :
$lim_(x->+infty)(((2x)/(1+x^2))sin ((2x)/(1+x^2))/((2x)/(1+x^2)))/((1/x)log(1+1/x)/(1/x)) $ $=lim_(x->+infty)((2x)/(1+x^2)×1)/((1/x)×1) =lim_(x->+infty)$ $..... $ continua tu

Si, il problema non era quello.
Il punto era che da un punto di vista formale io starei considerando un'unica funzione razionale di conseguenza quando applico la sostituzione ottengo una situazione del genere $(lim_(y->0) sin(2y/(1+y^2)))/(lim_(y->0) y) $ ed è chiaro che se effettuo una seconda sostituzione allora "nel sostituire" quella y al denominatore darebbe problemi.
Da come ho capito l'ordine degli step prevede prima il considerare il limite del rapporto come un rapporto di limiti e dopodiché posso risolvermeli a parte con la sostituzione per y=argomento del seno e per $y=1/x$

[francicko]

Onestamente non ho ben capito il motivo della sostituzione, comunque se poni $y=1/x $ il limite diventa $(lim_(y->0)sin( (2/y)/(1+(1/y)^2))) /(lim_(y->0)log (1+y)) $ $=(lim_(y->0)sin ((2y)/(1+y^2)))/(lim_(y->0)log (1+y)) $ $=(lim_(y->0)sin (2y))/(lim_(y->0)log(1+y))$ $=lim_(y->0)(2y)/y=2$ dove sta il vantaggio di questa sostituzione?