Limite semplice tendente a zero

[rocco951]

Buongiorno ...qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questo limiteche si presenta nella forma indeterminata 0/0? $lim_(h->0^-)(e^x-1)/(x^2+2x^3)$ ; vista la semplicità,posso applicare il confronto tra infinitesimi per risolverlo?Oppure ricorrere a De l'Hopital o ai limiti notevoli? Applicando De l'Hopital(ma non sono certo che sono verificate le ipotesi del teorema) il risultato,dai miei calcoli, è -infinito...E'errato risolverlo con de l'Hopital? Grazie anticipatamente.

[pilloeffe]

Ciao rocco95,

Se il limite proposto è $ \lim_(x \to 0^-)(e^x-1)/(x^2+2x^3) $ (hai scritto $h \to 0^- $) in effetti è semplice ed il risultato è $- \infty $ come hai scritto. Si vede subito perché si ha:

$ \lim_(x \to 0^-)(e^x-1)/(x^2+2x^3) = \lim_(x \to 0^-)(e^x-1)/x \cdot 1/(x+2x^2) = \lim_(x \to 0^-)(e^x-1)/x \cdot \lim_(x \to 0^-) 1/(x+2x^2) = -\infty $

Analogamente si ha $ \lim_(x \to 0^+)(e^x-1)/(x^2+2x^3) = +\infty $, quindi riassumendo si ha:

$ \lim_(x \to 0^{\pm})(e^x-1)/(x^2+2x^3) = \pm \infty $

con ovvio significato dei simboli.

[rocco951]

Ciao pilloeffe,grazie mille per la risposta...come vedi dai tuoi calcoli,se non erro,hai fatto ricorso al limite notevole della funzione esponenziale.In questo caso,si potrebbe risolvere anche con de l'Hopital o con il confronto tra infinitesimi scegliendo opportunamente gli infinitesimi di ordine inferiore al numeratore che al denominatore?Perdonami per le domande ho iniziato da poco lo studio dei limiti...grazie anticipatamente.