Limite semplice in 2 variabili.. ma un piccolo dubbio..

[21zuclo]

Ciao a tutti, oggi mi stavo allenando con i limiti in 2 variabili. Però ho un dubbio, aiutatemi a capire bene, spiego il mio dubbio mettendo il limite dove ho incontrato il mio dubbio. Grazie in anticipo.

Calcolare (e verificare se esiste) $ lim_((x,y) ->(0,0) ) (\arctan(x^2+y^2))/(x^2+y^2) $

allora sono subito passato alle coordinate polari in questo modo, sapendo che $ \rho=\sqrt{x^2+y^2}\to \rho^2=x^2+y^2 $

per cui il limite diventa $ \lim_(\rho\to 0) (\arctan(\rho^2))/(\rho^2) $

e da qui ho il mio dubbio, qui ho utilizzato l'asintotico, visto che argomento dell'arcotangente va a 0

in pratica ho fatto $\arctan(\rho^2)$ \(\sim\) $\rho^2$ per $\rho\to 0$

quindi si ha che $(\arctan(\rho^2))/(\rho^2)$ \(\sim\) $\rho^2/\rho^2=1$ per $\rho\to 0$

Ecco l'operazione di asintotici in questo caso è ammissibile o è sbagliata? Perchè mi sembra che ho sentito dire che gli asintotici in 2 varibili non è sempre accettabile..

Ditemi se in questo caso ho fatto bene o no..

[gabriella127]

Il passaggio alle coordinate polari fa diventare il limite un limite in una sola variabile, $ rho $, quindi il problema secondo me non si pone, puoi fare l'asintotico normalmente visto che stai facendo un limite in una sola variabile.