Limite semplice
qualcuno sa indicarmi gentilmente dove sbaglio?
$\lim_{x \to \infty}((3x)^x)/(2^((logx)^x))$ => $\lim_{x \to \infty}((3x)/2^logx)^x$ => $\lim_{x \to \infty}e^log(((3x)/(2^logx))^x)$ =>
$\lim_{x \to \infty}e^(xlog((3x)/2^logx))$ => ora però all'esponente c'è un x che tende a più infinito che moltiplica un logartitmo che ha un argomento che per x che tende a più infinito (per la scala degli infiniti) tende a zero.
quindi il logaritmo tende a meno infinito. in conclusione ho $e$ elevato alla meno infinito, cioè 0.
quando invece il risultato corretto è +infinito.
dove sbaglio?
grazie in anticipo
$\lim_{x \to \infty}((3x)^x)/(2^((logx)^x))$ => $\lim_{x \to \infty}((3x)/2^logx)^x$ => $\lim_{x \to \infty}e^log(((3x)/(2^logx))^x)$ =>
$\lim_{x \to \infty}e^(xlog((3x)/2^logx))$ => ora però all'esponente c'è un x che tende a più infinito che moltiplica un logartitmo che ha un argomento che per x che tende a più infinito (per la scala degli infiniti) tende a zero.
quindi il logaritmo tende a meno infinito. in conclusione ho $e$ elevato alla meno infinito, cioè 0.
quando invece il risultato corretto è +infinito.
dove sbaglio?
grazie in anticipo
Risposte
credo il mio errore stia nell'uso della scala degli infiniti nel raporto $(3x)/(2^logx)$ ma non ne sono così sicuro...........
dal testo sembrerebbe che l'esponente x al denominatore sia esponente di logx e non di tutta l'esponenziale (quindi non è una potenza di potenza), come invece è stato considerato nei passaggi successivi. non so se è questo il problema.
ciao.
ciao.
si la x al denominatore è l'esonente di logx. ma non posso applicare potenza di potenza ugualmente?
intendo per le proprietà dei logaritmi scirvere $xlogx$ equivale a scrivere $logx^x$
quindi applicare potenza di potenza non dovrebbe essere sbagliato. o invece sbaglio?
grazie
quindi applicare potenza di potenza non dovrebbe essere sbagliato. o invece sbaglio?
grazie
prego. no, ad entrambe le domande. più precisamente:
$x*logx$ equivale a $log(x^x)$, x esponente dell'argomento.
puoi anche fare qualche esempio numerico: $log_2(4^4)=log_2(256)=8=4*2=4*log_2(4) != (log_2(4))^4=2^4=16$
per quanto riguarda le potenze di potenze,
$(2^3)^2=2^6=64 !=2^(3^2)=2^((3^2))=2^9=512$
è chiaro? ciao.
$x*logx$ equivale a $log(x^x)$, x esponente dell'argomento.
puoi anche fare qualche esempio numerico: $log_2(4^4)=log_2(256)=8=4*2=4*log_2(4) != (log_2(4))^4=2^4=16$
per quanto riguarda le potenze di potenze,
$(2^3)^2=2^6=64 !=2^(3^2)=2^((3^2))=2^9=512$
è chiaro? ciao.
Io farei così (sempre che abbia ben interpretato il testo)
$\lim_{x \to \infty}((3x)^x)/(2^((logx)^x))=\lim_{x \to \infty}((3x)/2^logx)^x=+oo
perché vale la seguente disuguaglianza:
$(3x)/(2^(log(x)))>1 \Leftrightarrow 3x>2^(log(x)) \Leftrightarrow log_2(3x)>log(x)$
e quest'ultima disuguaglianza è vera per le proprietà dei logaritmi.
In definitiva esiste $alpha>1$ t.c. $(3x)/(2^(log(x)))>alpha$
dunque, per il teorema dei due carabinieri abbiamo che:
$[(3x)/(2^(log(x)))]^x>alpha^x->+oo$ per $x->+oo$ visto che $alpha>1$
$\lim_{x \to \infty}((3x)^x)/(2^((logx)^x))=\lim_{x \to \infty}((3x)/2^logx)^x=+oo
perché vale la seguente disuguaglianza:
$(3x)/(2^(log(x)))>1 \Leftrightarrow 3x>2^(log(x)) \Leftrightarrow log_2(3x)>log(x)$
e quest'ultima disuguaglianza è vera per le proprietà dei logaritmi.
In definitiva esiste $alpha>1$ t.c. $(3x)/(2^(log(x)))>alpha$
dunque, per il teorema dei due carabinieri abbiamo che:
$[(3x)/(2^(log(x)))]^x>alpha^x->+oo$ per $x->+oo$ visto che $alpha>1$
Comunque con buona probabilità credo di aver interpretato bene il testo (mi riferisco alla questione delle potenze di potenze) perché nell'altro caso il limite verrebbe 0 e non concorderebbe con quanto è stato dato di risultato.
non so se ho sbagliato qualche conto, però a me viene 0 se parto dall'interpretazione di marco.surfing.
partendo da $e^(x*log((3x)/(2^(logx))))$ ed applicando l'Hopital all'esponente mi viene $e^(-oo)=0$.
comunque, se la parentesi è così nel testo, penso che vada interpretato diversamente.
l'altro limite non l'ho fatto (ho solo controllato questo con un metodo alternativo perché non c'era accordo tra quanto detto da voi due, nonostante non ci vedessi errori). come fa a venirti 0 l'altro limite?
partendo da $e^(x*log((3x)/(2^(logx))))$ ed applicando l'Hopital all'esponente mi viene $e^(-oo)=0$.
comunque, se la parentesi è così nel testo, penso che vada interpretato diversamente.
l'altro limite non l'ho fatto (ho solo controllato questo con un metodo alternativo perché non c'era accordo tra quanto detto da voi due, nonostante non ci vedessi errori). come fa a venirti 0 l'altro limite?
Non ho provato a calcolarlo io, ma mi sono affidato a Matlab e mi dà come risultato 0. Comunque adesso vado a mangiare, ma se riesco dopo provo a risolverlo e lo posto.
Un ultima cosa: io non ho provato a calcolare il limite con De L'Hospital, ma mi sembra strano che $[log((3x)/(2^(logx)))]^x->-oo$ per $x->+oo$ visto che è una funzione positiva. Comunque poi controllo anche quello.
Un ultima cosa: io non ho provato a calcolare il limite con De L'Hospital, ma mi sembra strano che $[log((3x)/(2^(logx)))]^x->-oo$ per $x->+oo$ visto che è una funzione positiva. Comunque poi controllo anche quello.
hai perfettamente ragione.
non avevo (almeno credo) sbagliato i calcoli, erano solo disordinati ed ho sbagliato ad interpretarli.
il rapporto tra le derivate di $log((3x)/(2^(logx)))$ e di $1/x$ dà come risultato $(1-log(2))/(-x) -> +oo$.
ciao.
non avevo (almeno credo) sbagliato i calcoli, erano solo disordinati ed ho sbagliato ad interpretarli.
il rapporto tra le derivate di $log((3x)/(2^(logx)))$ e di $1/x$ dà come risultato $(1-log(2))/(-x) -> +oo$.
ciao.
si può risolvere così?:
$\lim_{x \to \infty}((3x)^x)/(2^((logx)^x))=$ applico a numeratore e denominatore logaritmo in base 2:
$= \lim_{x \to \infty}(log_{2}(3x)^x)/(log_{2}2^((logx)^x))= \lim_{x \to \infty}(xlog_{2}(3x))/((logx)^x)$ di nuovo il logaritmo, questa volta naturale, tanto non cambia niente:
$=\lim_{x \to \infty}log(xlog_{2}(3x))/(xlog(logx))$ per le proprietà dei logaritmi:
$=\lim_{x \to \infty}(logx + loglog_{2}(3x))/(xlog(logx))$ che per x grande si può scrivere come:
$=\lim_{x \to \infty}(logx)/(xlog(logx))= 0$
$\lim_{x \to \infty}((3x)^x)/(2^((logx)^x))=$ applico a numeratore e denominatore logaritmo in base 2:
$= \lim_{x \to \infty}(log_{2}(3x)^x)/(log_{2}2^((logx)^x))= \lim_{x \to \infty}(xlog_{2}(3x))/((logx)^x)$ di nuovo il logaritmo, questa volta naturale, tanto non cambia niente:
$=\lim_{x \to \infty}log(xlog_{2}(3x))/(xlog(logx))$ per le proprietà dei logaritmi:
$=\lim_{x \to \infty}(logx + loglog_{2}(3x))/(xlog(logx))$ che per x grande si può scrivere come:
$=\lim_{x \to \infty}(logx)/(xlog(logx))= 0$
Si direi che va bene! 
Anche se a questo punto credo che la prima interpretazione fosse quella giusta visto che il risultato che ci avevi fornito non era $0$.
Anche se a questo punto credo che la prima interpretazione fosse quella giusta visto che il risultato che ci avevi fornito non era $0$.
va bene che si tratta del limite per x->infinito, però il rapporto tra due funzioni non è uguale al rapporto tra i due logaritmi...
si potrebbe trovare il limite del logaritmo in base 2 di tutta la frazione (che dovrebbe essere -oo), dopodiché il limite cercato è 2^(-oo)=0.
per l'interpretazione, sicuramente avete ragione voi, però in tal caso le parentesi del testo non vanno messe così.
ciao.
si potrebbe trovare il limite del logaritmo in base 2 di tutta la frazione (che dovrebbe essere -oo), dopodiché il limite cercato è 2^(-oo)=0.
per l'interpretazione, sicuramente avete ragione voi, però in tal caso le parentesi del testo non vanno messe così.
ciao.
tu come lo risolveresti?
io, con il logaritmo di tutto ho ottenuto un'espressione che dovrebbe tendere a -infinito (a occhio), come ho detto, anche se non è banalissimo calcolare quel limite "rigorosamente". ti posto il calcolo parziale.
$log_2(((3x)^x)/(2^((logx)^x)))=log_2((3x)^x)-log_2(2^((logx)^x))=x*log_2(3)+x*log_2(x)-e^(x*log(logx))$
se il limite dell'espressione precedente per x->+oo è -oo, allora viene 0 (2^(-oo)) il limite cercato.
i primi due tendono a +oo (si potrebbe anxhe lasciare un solo limite con logaritmo di argomento (3x)), il terzo a -oo, però per una questione di ordini di infiniti dovrebbe essere -oo. altrimenti come dimostrarlo?
se pensi che scritto in questo modo possa essere più semplice, che cosa suggerisci?
$log_2(((3x)^x)/(2^((logx)^x)))=log_2((3x)^x)-log_2(2^((logx)^x))=x*log_2(3)+x*log_2(x)-e^(x*log(logx))$
se il limite dell'espressione precedente per x->+oo è -oo, allora viene 0 (2^(-oo)) il limite cercato.
i primi due tendono a +oo (si potrebbe anxhe lasciare un solo limite con logaritmo di argomento (3x)), il terzo a -oo, però per una questione di ordini di infiniti dovrebbe essere -oo. altrimenti come dimostrarlo?
se pensi che scritto in questo modo possa essere più semplice, che cosa suggerisci?
sì, va bene come hai scritto tu, basta raccogliere l'esponenziale e mandare x all'infinito
grazie.
non è certo agevole il calcolo con de l'Hopital, ma, una volta raccolta l'esponenziale, si ha una frazione con forma indeterminata "meno 1": la risoluzione della forma indeterminata applicando due volte l'Hopital dà 0, per cui il limite precedente si riduce a $+oo*(0-1)=-oo$, da cui il limite dell'esercizio $2^(-oo)=0$.
ciao.
non è certo agevole il calcolo con de l'Hopital, ma, una volta raccolta l'esponenziale, si ha una frazione con forma indeterminata "meno 1": la risoluzione della forma indeterminata applicando due volte l'Hopital dà 0, per cui il limite precedente si riduce a $+oo*(0-1)=-oo$, da cui il limite dell'esercizio $2^(-oo)=0$.
ciao.
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