Limite rapporto logaritmo/coseno
Devo studiare la convergenza di questa serie:
[tex]$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+logn}{(n+cosn)^{3}}$[/tex]
Volevo prima verificare se la successione degli addendi è infinitesima. E di conseguenza calcolare [tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{n+logn}{(n+cosn)^{3}}$[/tex] e non so come approcciarlo. Ho provato senza successo ad applicare de l'Hopital senza troppa convinzione e non ne ho cavato nulla. Chissà se qualcuno mi da un'imbeccata.
[tex]$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+logn}{(n+cosn)^{3}}$[/tex]
Volevo prima verificare se la successione degli addendi è infinitesima. E di conseguenza calcolare [tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{n+logn}{(n+cosn)^{3}}$[/tex] e non so come approcciarlo. Ho provato senza successo ad applicare de l'Hopital senza troppa convinzione e non ne ho cavato nulla. Chissà se qualcuno mi da un'imbeccata.
Risposte
Raccogli $n$ a numeratore e denominatore.
$n+logn<=2n$ e $n+cosn >= n-1$.
il coseno oscilla limitatamente quindi, essendo al denominatore, puoi tranquillamente maggiorare con il suo minimo.. il logaritmo è lento e quindi trascurabile rispetto n. (https://www.matematicamente.it/forum/lim ... 75163.html)
Proviamo:
[tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{n+logn}{(n+cosn)^{3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(1+\frac{logn}{n})}{n(n^2+3ncosn+3cos^2n+\frac{cos^3n}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{logn}{n})}{(n^2+3ncosn+3cos^2n+\frac{cos^3n}{n})}$[/tex]
Ho quindi che il numeratore tende ad 1 ma i coseni a denominatore mi mettono in crisi.](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
[tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{n+logn}{(n+cosn)^{3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(1+\frac{logn}{n})}{n(n^2+3ncosn+3cos^2n+\frac{cos^3n}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{logn}{n})}{(n^2+3ncosn+3cos^2n+\frac{cos^3n}{n})}$[/tex]
Ho quindi che il numeratore tende ad 1 ma i coseni a denominatore mi mettono in crisi.
Aaaaaaaaaaaaaaaaarrrrrrrrrrrgggggggghhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh!!!!!!!!!!!!!!!! Ho detto raccogli, non calcola il cubo!
"ciampax":
Aaaaaaaaaaaaaaaaarrrrrrrrrrrgggggggghhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh!!!!!!!!!!!!!!!! Ho detto raccogli, non calcola il cubo!
Intendevi:
[tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{n(1+\frac{logn}{n})}{n^3(1+\frac{cosn}{n})^3}$[/tex]
Sì. Adesso le cose tra parentesi tendono ad 1 (perché le frazioni tendono a zero) e quindi ti resta il rapporto $n/n^3$ che tende a...
Ok, il limite fa [tex]0[/tex]. Quindi adesso devo cercare di studiare la convergenza della serie. Pensavo di utilizzare il criterio del confronto:
posso dire che [tex]$\frac{n+logn}{(n+cosn)^3}\leq\frac{2n}{(n-1)^3}$[/tex]? e di conseguenza la serie converge?
[EDIT] ho corretto la maggiorazione
posso dire che [tex]$\frac{n+logn}{(n+cosn)^3}\leq\frac{2n}{(n-1)^3}$[/tex]? e di conseguenza la serie converge?
[EDIT] ho corretto la maggiorazione
si, puoi perchè
Edit: in realtà non puoi, va però bene se metti un 2 davanti la $n$ al numerato essendo $\log n \le n$
"uruz_7":
il coseno oscilla limitatamente quindi, essendo al denominatore, puoi tranquillamente maggiorare con il suo minimo.. il logaritmo è lento e quindi trascurabile rispetto n. (https://www.matematicamente.it/forum/lim ... 75163.html)
Edit: in realtà non puoi, va però bene se metti un 2 davanti la $n$ al numerato essendo $\log n \le n$
Grazie mille!
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