Limite "0/0"
Raga ancora una volta confido in voi, la mia inesperienza non mi permette grandi cose, vi propongo questo limite
$Lim_(x->0) (log((x+x^9)/(x+2x^8)))/(sqrt(x^4+8x^6)sen(x^5))$
Il risultato è $-2$.
Il logaritmo tende a 1 quindi fa 0 al numeratore, al denominatore isolando $x^4$ ottengo $x^2sqrt(1+8x^2)sen(x^5)$ e quel $x^2$ mi annulla anche il denominatore, mentre il seno lo faccio col limite notevole e tende a uno e ok, ma comunque rimane quell $x^2$ che diventerebbe poi tra l'altro una $x^7$. Col taylor e de l'hopital non ho molta confidenza quindi non mi sono ancora cimentato a provarci, quindi se c'è un altro modo è meglio.
Lascio la parola agli esperti!
$Lim_(x->0) (log((x+x^9)/(x+2x^8)))/(sqrt(x^4+8x^6)sen(x^5))$
Il risultato è $-2$.
Il logaritmo tende a 1 quindi fa 0 al numeratore, al denominatore isolando $x^4$ ottengo $x^2sqrt(1+8x^2)sen(x^5)$ e quel $x^2$ mi annulla anche il denominatore, mentre il seno lo faccio col limite notevole e tende a uno e ok, ma comunque rimane quell $x^2$ che diventerebbe poi tra l'altro una $x^7$. Col taylor e de l'hopital non ho molta confidenza quindi non mi sono ancora cimentato a provarci, quindi se c'è un altro modo è meglio.
Lascio la parola agli esperti!
Risposte
Ciao! Ho provato a farlo e basta semplicemente saper usare gli sviluppi al primo ordine delle funzioni elementari! Mentre ti scrivo come ho fatto prova a pensarci 
PS sconsiglio di usare De L'Hopital perché vengono cose orribili
PS sconsiglio di usare De L'Hopital perché vengono cose orribili
Le osservazioni che si possono fare sono queste:
1) $log((x+x^9)/(x+2x^8))=log((x(1+x^8))/(x(1+2x^7)))=log((1+x^8)/(1+2x^7))$ a patto che $x!=0$ ma questo non ci crea problemi!
Ora per le proprietà dei logaritmi puoi scrivere:
$log((1+x^8)/(1+2x^7))=log(1+x^8)-log(1+2x^7)$
2) per $x\to0$ valgono gli sviluppi:
$ln(1+x)=x+o(x)$
$sin(x)=x+o(x)$
$(1+x)^\alpha=1+\alphax+o(x)$
e quindi hai tutti gli ingredienti per calcolare il limite rapidamente! Prova a dirmi se ci riesci!
1) $log((x+x^9)/(x+2x^8))=log((x(1+x^8))/(x(1+2x^7)))=log((1+x^8)/(1+2x^7))$ a patto che $x!=0$ ma questo non ci crea problemi!
Ora per le proprietà dei logaritmi puoi scrivere:
$log((1+x^8)/(1+2x^7))=log(1+x^8)-log(1+2x^7)$
2) per $x\to0$ valgono gli sviluppi:
$ln(1+x)=x+o(x)$
$sin(x)=x+o(x)$
$(1+x)^\alpha=1+\alphax+o(x)$
e quindi hai tutti gli ingredienti per calcolare il limite rapidamente! Prova a dirmi se ci riesci!
Non so ancora come comportarmi con gli o piccolo e le proprietà, potresti farmi vedere come risolvere tramite lo sviluppo?
Certo! Allora l'idea di base è che per valori di $x$ abbastanza vicini a $0$, cioè per $x\to0$, hai per esempio che $sin(x)=x+o(x)$. Detto brutalmente significa che la funzione $f(x)=x$ approssima bene la funzione seno quando sei in un intorno abbastanza piccolo dell'origine. La stessa cosa vale per gli altri sviluppi che ho scritto, prova ad aiutarti con i grafici per vederlo! L'o-piccolo invece è una "funzione resto" diciamo che tende a zero quando $x$ tende a zero in questo caso.
A cosa serve questo? Visto che nel limite hai proprio $x\to0$ puoi sostituire le funzioni con i loro sviluppi (attento che quelli che ho scritto valgono per $x\to0$ e non per esempio per $x\to5$).
Quindi per esempio potrai sostituire a $log(1+x^8)$ il suo sviluppo, cioè $x^8+o(x^8)$.
Come puoi vedere non hai già la pappa pronta ma con qualche trucchetto ti puoi ricondurre agli sviluppi noti, come per esempio:
$sqrt(x^4+8x^6)=sqrt(x^4(1+8x^2))=x^2sqrt(1+8x^2)=x^2(1+8x^2)^(1/2)$. Qui puoi riconoscere lo sviluppo che ti ho scritto sopra, quindi per $x\to0$ avrai $x^2(1+8x^2)^(1/2)=x^2(1+1/2*8x^2+o(8x^2))$
A conti fatti potrai riscrivere il limite come:
$\lim_{x \to \0}(x^8+o(x^8)-(2x^7+o(x^7)))/(x^2(1+1/2*8x^2+o(8x^2))*(x^5+o(x^5))$
e dovresti poter concludere. Se non sai come trattare gli o-piccolo ti consiglio di andare a vederli prima di fare esercizi di questo tipo, anch'io all'inizio ho faticato a capirli e tutt'ora forse non li ho chiari a pieno
A cosa serve questo? Visto che nel limite hai proprio $x\to0$ puoi sostituire le funzioni con i loro sviluppi (attento che quelli che ho scritto valgono per $x\to0$ e non per esempio per $x\to5$).
Quindi per esempio potrai sostituire a $log(1+x^8)$ il suo sviluppo, cioè $x^8+o(x^8)$.
Come puoi vedere non hai già la pappa pronta ma con qualche trucchetto ti puoi ricondurre agli sviluppi noti, come per esempio:
$sqrt(x^4+8x^6)=sqrt(x^4(1+8x^2))=x^2sqrt(1+8x^2)=x^2(1+8x^2)^(1/2)$. Qui puoi riconoscere lo sviluppo che ti ho scritto sopra, quindi per $x\to0$ avrai $x^2(1+8x^2)^(1/2)=x^2(1+1/2*8x^2+o(8x^2))$
A conti fatti potrai riscrivere il limite come:
$\lim_{x \to \0}(x^8+o(x^8)-(2x^7+o(x^7)))/(x^2(1+1/2*8x^2+o(8x^2))*(x^5+o(x^5))$
e dovresti poter concludere. Se non sai come trattare gli o-piccolo ti consiglio di andare a vederli prima di fare esercizi di questo tipo, anch'io all'inizio ho faticato a capirli e tutt'ora forse non li ho chiari a pieno
Ecco, si, fino a qui ci sono, ma non so concludere niente, ho provato a moltiplicare quella roba ma non so cosa sto facendo comunque ti ringrazio della spiegazione mi ha aiutato molto a mettere un po in pratica lo sviluppo per il resto devo andare avanti io. L'o-piccolo se non ho capito male dovrebbe essere l'errore della funzione che approssima quella di partenza quindi si va avanti nello sviluppo riducendo l'errore di approssimazione ma ci si dovrebbe fermare quando basta a risolvere l'indeterminazione, comunque vedrò di riuscire a fare meno confusione.
Avevo intuito che non potessi concludere nulla senza le serie, devo ingrandire l'arsenale
Sempre fenomenali ragazzi mi piace il forum
io do una mano nelle scuole secondarie
Comunque se riuscite a farmi anche i passaggi dello sviluppo sono in discesa, non vorrei chiedere troppo però.
Fenomenali
comunque ti ringrazio della spiegazione mi ha aiutato molto a mettere un po in pratica lo sviluppo per il resto devo andare avanti io. L'o-piccolo se non ho capito male dovrebbe essere l'errore della funzione che approssima quella di partenza quindi si va avanti nello sviluppo riducendo l'errore di approssimazione ma ci si dovrebbe fermare quando basta a risolvere l'indeterminazione, comunque vedrò di riuscire a fare meno confusione.Avevo intuito che non potessi concludere nulla senza le serie, devo ingrandire l'arsenale
Sempre fenomenali ragazzi mi piace il forum
io do una mano nelle scuole secondarie Comunque se riuscite a farmi anche i passaggi dello sviluppo sono in discesa, non vorrei chiedere troppo però.
Fenomenali
Prova a cercare online un po' di algebra degli o-piccolo e capirai subito come proseguire, bisogna sporcarsi un po' le mani
Il limite si può risolvere benissimo anche senza gli o piccoli/sviluppi, infatti $ln((x+x^9)/(x+2x^8))/(sqrt(x^4+8x^6)sen(x^5))=ln((1+x^8+2x^7-2x^7)/(1+2x^7))/(x^2sqrt(1+8x^2)(senx^5)/x^5x^5)=ln(1+(-2x^7+x^8)/(1+2x^7))/((-2x^7+x^8)/(1+2x^7))(-2x^7+x^8)/(1+2x^7)/(x^7sqrt(1+8x^2)(senx^5)/x^5)=ln(1+(-2x^7+x^8)/(1+2x^7))/((-2+x)/(1+2x^7))(-2+x)/(1+2x^7)/(sqrt(1+8x^2)(senx^5)/x^5)$, che, al tendere di $x->0$, il primo pezzo tende a $1$, il secondo a $-2$, mentre il terzo a $1$, quindi complessivamente il limite è $-2$.
Gli o piccoli/sviluppi arrestati al primo termine in $x $, non sono altro che i limiti notevoli o asintotici come si preferisce chiamarli.
In questo caso avremo:
$log ((1+x^8)=x^8+o (x^8) $
$log (1+2x^7)=2x^7+o (x^7) $
$sqrt (x^4+8x^6)=x^2+o (x^2) $
$sin (x^5)=x^5+o (x^5) $
sostituendo ed essendo ovviamente, gli o piccolo trascurabili si ha:
$lim_(x->0)(x^8-2x^7)/(x^2×x^5) $ $=lim_(x->0)(-2x^7)/x^7=-2$
In questo caso avremo:
$log ((1+x^8)=x^8+o (x^8) $
$log (1+2x^7)=2x^7+o (x^7) $
$sqrt (x^4+8x^6)=x^2+o (x^2) $
$sin (x^5)=x^5+o (x^5) $
sostituendo ed essendo ovviamente, gli o piccolo trascurabili si ha:
$lim_(x->0)(x^8-2x^7)/(x^2×x^5) $ $=lim_(x->0)(-2x^7)/x^7=-2$
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