Limite puntuale: dubbio sviluppo di Taylor

[aculsh]

Salve a tutti! Sono incappato in un dubbio cercando di calcolare il limite puntuale della seguente successione di funzioni:
[tex]f_n(x)=cos(\sqrt{(x+4\pi^2n^2)})[/tex] in [tex][0,\infty[[/tex]. Per x=0, chiaramente viene la successione costante uguale a 1 e quindi tende a 1. per x diverso da zero ho provato a procedere nel seguente modo:
[tex]f_n(x)= cos(2\pi n \sqrt{(1+\frac{1}{4\pi^2n^2})} ) = cos(2\pi n (1+\frac{1}{8\pi^2n^2}))[/tex] e poi utilizzando la formula del coseno della somma ottengo che qualsiasi sia x la successione di funzioni tende a 1. Il mio dubbio è prorpio nell'uguaglianza precedente dove ho effettuato lo sviluppo di Taylor trascurando totalmente il resto. Come si potrebbe rendere rigoroso questo ragionamento?

[aculsh]

Forse aggiungendo anche il resto e sviluppando i conti :
[tex]cos\left(2\pi n \left(1+\frac{1}{8\pi^2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\right)= cos\left(\frac{x}{4\pi n}\right)cos\left(o\left(\frac{1}{n}\right)\right)-sen\left(\frac{x}{4\pi n}\right)sen\left(o\left(\frac{1}{n}\right)\right)[/tex]. Potrei ora concludere tranquillamente dicendo che [tex]cos\left(o\left(\frac{1}{n}\right)\right)[/tex] tende a 1 per n che tende all'infinito?