Limite puntuale di una successione di funzioni
Ciao a tutti!
Devo determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni:
$f_n(x)= sqrt(n )$ se $0
La soluzione dice: "Sia $x\in(0,1]$. Poichè $1/n->0$ per $n->\infty$, si ha che definitivamente $1/n<=x$ cioè esiste $N\in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n>=N$ si ha $1/n<=x$. Ne segue che per ogni $n>=N$ si ha $f_n(x)=1/sqrt(x)$. Quindi se $x\in(0,1]$ si ha che $\lim_n f_n(x)=1/sqrt(x)$. Allora la successione su $(0,1]$ tende puntualmente a $f(x)=1/sqrt(x)$."
E' un ragionamento che non riesco a capire, qualcuno potrebbe spiegarmi come posso calcolare la convergenza puntuale in questo caso? Grazie
Devo determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni:
$f_n(x)= sqrt(n )$ se $0
La soluzione dice: "Sia $x\in(0,1]$. Poichè $1/n->0$ per $n->\infty$, si ha che definitivamente $1/n<=x$ cioè esiste $N\in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n>=N$ si ha $1/n<=x$. Ne segue che per ogni $n>=N$ si ha $f_n(x)=1/sqrt(x)$. Quindi se $x\in(0,1]$ si ha che $\lim_n f_n(x)=1/sqrt(x)$. Allora la successione su $(0,1]$ tende puntualmente a $f(x)=1/sqrt(x)$."
E' un ragionamento che non riesco a capire, qualcuno potrebbe spiegarmi come posso calcolare la convergenza puntuale in questo caso? Grazie
Risposte
Quando $n$ tende a $\infty$ la parte della funzione definita tra $0$ e $1/n$ diventa definita in effetti tra $0$ e $0$ (cioè non esistono più $x$ che cadono in questo intervallo) e dunque l'unica parte che "conta" ai fini del limite è la seconda ovvero $f_n(x) \to 1/sqrt(x)$.
grazie mille!!
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