Limite puntuale di sucessione di funzioni continue
Sia \(\displaystyle f:R^2 \rightarrow R \) tale che per ogni x e y, le funzioni \(\displaystyle t \rightarrow f(x,t),\qquad t \rightarrow f(t,y) \) sono continue.
Devo dimostrare che f è il limite puntuale di una successione di funzione continue e pertanto misurabile.
Sono rimasta un po' senza parole di fronte a questo esercizio..ammetto che le dimostrazioni costruttive non sono il mio forte.
E quindi non so bene comportarmi, spero che qualcuno possa darmi una mano.
Chiaramente devo costruire una successione apposita e avevo pensato di sfruttare la continuità delle tue funzioni citate sopra.
Ovvero trovare una successione \(\displaystyle h_N:R^2 \rightarrow R\) adatta però non riesco a capire come.
Devo dimostrare che f è il limite puntuale di una successione di funzione continue e pertanto misurabile.
Sono rimasta un po' senza parole di fronte a questo esercizio..ammetto che le dimostrazioni costruttive non sono il mio forte.
E quindi non so bene comportarmi, spero che qualcuno possa darmi una mano.
Chiaramente devo costruire una successione apposita e avevo pensato di sfruttare la continuità delle tue funzioni citate sopra.
Ovvero trovare una successione \(\displaystyle h_N:R^2 \rightarrow R\) adatta però non riesco a capire come.
Risposte
Hai provato a verificare se,nelle tue ipotesi,a norma di definizione è possibile affermare che
$EElim_(n to oo)f(x+1/n,y+1/n)=f(x,y)$ $AA(x,y) inRR^2$(1)?
Magari,a tal fine,ti sarà utile osservare che,fissati a piacere $x,y inRR$,si ha
$|f(x+1/n,y+1/n)-f(x,y)|=|[f(x+1/n,y+1/n)-f(x+1/n,y)]+[f(x+1/n,y)-f(x,y)]|<=$
$<=|f(x+1/n,y+1/n)-f(x+1/n,y)|+|f(x+1/n,y)-f(x,y)|$ $AAn inNN$:
a questo punto ti diventano fondamentali,ai fini dell'acquisizione di (1) per l'arbitrario punto $(x,y)$,
quelle ipotesi di continuità ed un teorema ponte,noto da Analisi I,tra funzioni continue e successioni numeriche..
Saluti dal web.
$EElim_(n to oo)f(x+1/n,y+1/n)=f(x,y)$ $AA(x,y) inRR^2$(1)?
Magari,a tal fine,ti sarà utile osservare che,fissati a piacere $x,y inRR$,si ha
$|f(x+1/n,y+1/n)-f(x,y)|=|[f(x+1/n,y+1/n)-f(x+1/n,y)]+[f(x+1/n,y)-f(x,y)]|<=$
$<=|f(x+1/n,y+1/n)-f(x+1/n,y)|+|f(x+1/n,y)-f(x,y)|$ $AAn inNN$:
a questo punto ti diventano fondamentali,ai fini dell'acquisizione di (1) per l'arbitrario punto $(x,y)$,
quelle ipotesi di continuità ed un teorema ponte,noto da Analisi I,tra funzioni continue e successioni numeriche..
Saluti dal web.
Intendi dire la caratterizzazione di conintuità rispetto alle successioni percui una in una funzione continua accade che se $x_n \rightarrow x$ allora $f(x_n) \rightarrow f(n)$.
Perchè direi che questa è sufficiente se consideriamo la continuità delle due funzioni data per ipotesi come su entrambe le variabili.
Grazie.
Perchè direi che questa è sufficiente se consideriamo la continuità delle due funzioni data per ipotesi come su entrambe le variabili.
Grazie.
In realtà svolgendo questo metodo sono incappata in una problematica non indifferente, ovvero f_n così proposta non è continua.Eh quindi sono daccapo..
In che senso?
Se passi al limite per $ n to oo$ ambo i membri di quella disuguaglianza triangolare ottieni che entrambi gli addendi del secondo membro sono infinitesimi,
proprio per l'ipotizzata continuità di $f(x,t),f(t,y)$ $AA x,y in RR$
(e dunque,in particolar modo,comunque tu fissi $overline(x),overline(y) in RR$,per $x=overline(x)+1/n,y=overline(y)+1/n$..)
e per il teorema ponte citato:
ora non vedo bene il codice,
ma mi par di ricordare che l'idea fosse quella..
Saluti dal web.
Se passi al limite per $ n to oo$ ambo i membri di quella disuguaglianza triangolare ottieni che entrambi gli addendi del secondo membro sono infinitesimi,
proprio per l'ipotizzata continuità di $f(x,t),f(t,y)$ $AA x,y in RR$
(e dunque,in particolar modo,comunque tu fissi $overline(x),overline(y) in RR$,per $x=overline(x)+1/n,y=overline(y)+1/n$..)
e per il teorema ponte citato:
ora non vedo bene il codice,
ma mi par di ricordare che l'idea fosse quella..
Saluti dal web.
Forse si può provare così: fissato \(n\in \mathbb{N}^+\), definiamo \(f_n\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) tale che
\[
f_n(x,y) := f\left(\frac{k}{n}, y\right) + n\left[f\left(\frac{k+1}{n}, y\right) - f\left(\frac{k}{n}, y\right)\right] \left(x - \frac{k}{n}\right),\qquad \text{se}\ \frac{k}{n}\leq x \leq \frac{k+1}{n}, \ k\in\mathbb{Z}.
\]
\[
f_n(x,y) := f\left(\frac{k}{n}, y\right) + n\left[f\left(\frac{k+1}{n}, y\right) - f\left(\frac{k}{n}, y\right)\right] \left(x - \frac{k}{n}\right),\qquad \text{se}\ \frac{k}{n}\leq x \leq \frac{k+1}{n}, \ k\in\mathbb{Z}.
\]
Approfitto della tua presenza,Rigel:
hai controllato il mio procedimento?
A me par buono:
nel caso posti gli errori,che la cosa mi stà a cuore?
Saluti dal web.
hai controllato il mio procedimento?
A me par buono:
nel caso posti gli errori,che la cosa mi stà a cuore?
Saluti dal web.
Non c'è nessun errore nel tuo procedimento ma non risponde alla mia domanda.La funzione f non è continua!
Lo è quella che fissa x cioè che per $t \rightarrow f(x,t)$ e per y $t \rightarrow f(t,y)$ ma questo è ben diverso dal dire che f sia continua per ogni x e y.
Anzi..e quindi la tua funzione $f_n$ definita a partire da f non è continua e io devo costruire una successione di funzioni continue, non so se ho spiegato bene l'inghippo.Provo a fare un occhiata alla proposta di Rigel, nel frattempo avevo elaborato anche io una cosa lievemente differente, ma solo in apparenza..Magari la sviluppo e poi modificherò questo post con le dovute conclusioni.
Edit:
Io avevo pensato alla funzione definita come $f_n(x,y)=(k+1-2^n)f(x,\frac{k}{2^n})+(2^ny-k)f(x,\frac{k+1}{2^n})$ dove avevo fissato la y e lo facevo variare tra $[\frac{k}{2^n};\frac{k+1}{2^n}]$ che è la tua stessa idea ma divisa in modo lievemente diverso e agendo su y però forse la tua è un po' più agevole dal punto di vista del calcolo..finisco di svilupparla e poi riaggiorno.
Riporto qua i successivi progressi:
se considero il modello proposto da Rigel:
per $n \rightarrow \infty$ i due estremi dell'intervallo tendono a coincidere con x, in particolare vanno a zero tutti e tre direi, ma è sufficiente considerare la loro convergenza su x.
\[ \vert f(x,y)-f_n(x,y)\vert = \vert f(x,y)-f(\frac{k}{n},y) + n [f(\frac{k+1}{n},y)-f(\frac{k}{n},y)](x-\frac{k}{n})\vert \leq \vert f(x,y)-f(\frac{k}{n},y) \vert + n \vert x-\frac{k}{n} \vert \vert f(\frac{k+1}{n},y)-f(\frac{k}{n},y) \vert \]
La prima parte è minore di un fissato epsilon ad esempio (perchè tendendo l'estremo a collidere su x per la continuità della funzione che fissa la prima coordinata anche la differenza tra le due immagini tende a zero), questo vale anche per il secondo valore assoluto, n tende ad infinito ma l'altra parte (la distanza dell'intervallo che prendo su x fissato) tende a zero ugualmente perchè come già osservato l'intervallo si riduce a zero.
Manca qualcosa?
Lo è quella che fissa x cioè che per $t \rightarrow f(x,t)$ e per y $t \rightarrow f(t,y)$ ma questo è ben diverso dal dire che f sia continua per ogni x e y.
Anzi..e quindi la tua funzione $f_n$ definita a partire da f non è continua e io devo costruire una successione di funzioni continue, non so se ho spiegato bene l'inghippo.Provo a fare un occhiata alla proposta di Rigel, nel frattempo avevo elaborato anche io una cosa lievemente differente, ma solo in apparenza..Magari la sviluppo e poi modificherò questo post con le dovute conclusioni.
Edit:
Io avevo pensato alla funzione definita come $f_n(x,y)=(k+1-2^n)f(x,\frac{k}{2^n})+(2^ny-k)f(x,\frac{k+1}{2^n})$ dove avevo fissato la y e lo facevo variare tra $[\frac{k}{2^n};\frac{k+1}{2^n}]$ che è la tua stessa idea ma divisa in modo lievemente diverso e agendo su y però forse la tua è un po' più agevole dal punto di vista del calcolo..finisco di svilupparla e poi riaggiorno.
Riporto qua i successivi progressi:
se considero il modello proposto da Rigel:
per $n \rightarrow \infty$ i due estremi dell'intervallo tendono a coincidere con x, in particolare vanno a zero tutti e tre direi, ma è sufficiente considerare la loro convergenza su x.
\[ \vert f(x,y)-f_n(x,y)\vert = \vert f(x,y)-f(\frac{k}{n},y) + n [f(\frac{k+1}{n},y)-f(\frac{k}{n},y)](x-\frac{k}{n})\vert \leq \vert f(x,y)-f(\frac{k}{n},y) \vert + n \vert x-\frac{k}{n} \vert \vert f(\frac{k+1}{n},y)-f(\frac{k}{n},y) \vert \]
La prima parte è minore di un fissato epsilon ad esempio (perchè tendendo l'estremo a collidere su x per la continuità della funzione che fissa la prima coordinata anche la differenza tra le due immagini tende a zero), questo vale anche per il secondo valore assoluto, n tende ad infinito ma l'altra parte (la distanza dell'intervallo che prendo su x fissato) tende a zero ugualmente perchè come già osservato l'intervallo si riduce a zero.
Manca qualcosa?
O.k..m'era scappato completamente il tuo "successioni di funzioni continue" del messaggio originario,
e m'ero focalizzato unicamente sulla convergenza puntuale di ${f_n(x,y)=f(x+1/n,y+1/n):RR^2 to RR}_(n in NN)$ a $f(x,y)$
nelle due ipotesi di continuità della $f$ rispetto ad entrambe le variabili
(per inciso m'era chiara la differenza col fatto che fosse continua la $f$,e non a caso son ricorso alla prima dis. triangolare..):
ma forse sono stato fortunato perché mi par di poter dire come,
con una dimostrazione $epsilon - delta$ abbastanza classica e con un'analoga applicazione opportuna della prima disuguaglianza triangolare,salta fuori che $EElim_((x,y) to (x_0,y_0))|f(x+1/n,y+1/n)-f(x_0+1/n,y_0+1/n)|=0$ $AA(x_0,y_0) in RR^2,AA n in NN$.
Saluti dal web.
e m'ero focalizzato unicamente sulla convergenza puntuale di ${f_n(x,y)=f(x+1/n,y+1/n):RR^2 to RR}_(n in NN)$ a $f(x,y)$
nelle due ipotesi di continuità della $f$ rispetto ad entrambe le variabili
(per inciso m'era chiara la differenza col fatto che fosse continua la $f$,e non a caso son ricorso alla prima dis. triangolare..):
ma forse sono stato fortunato perché mi par di poter dire come,
con una dimostrazione $epsilon - delta$ abbastanza classica e con un'analoga applicazione opportuna della prima disuguaglianza triangolare,salta fuori che $EElim_((x,y) to (x_0,y_0))|f(x+1/n,y+1/n)-f(x_0+1/n,y_0+1/n)|=0$ $AA(x_0,y_0) in RR^2,AA n in NN$.
Saluti dal web.
Ok, grazie, avrei solo un ultima precisazione, scusate il puntiglio.
Rispetto alla successione proposta da Rigel o anche quello che ho proposto io nel mio edit sarebbe corretto dire "semplicemente" che sono funzioni in quanto somma di funzioni continue (quella che fissa una coordinata) e/o prodotto con un polinomio e quindi continue? Secondo voi dovrei aggiungere altri dettagli a supporto della cosa?
Rispetto alla successione proposta da Rigel o anche quello che ho proposto io nel mio edit sarebbe corretto dire "semplicemente" che sono funzioni in quanto somma di funzioni continue (quella che fissa una coordinata) e/o prodotto con un polinomio e quindi continue? Secondo voi dovrei aggiungere altri dettagli a supporto della cosa?
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