Limite problematico

[Albesa81]

Buon pomeriggio a tutti

Posto qui un limite che ho incontrato di recente e che mi sta creando qualche problema.

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln^{2}x}\left(x\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)-\ln\left(x\right)\right) \)

Ora, il punto è che non sembra sviluppabile con Mac Laurin perché l'argomento del logaritmo non tende a 1, né ovviamente il cambiamento di variabile \(\displaystyle t = \frac{1}{x} \) funziona (ho anche pensato se fosse possibile raccogliere il secondo termine del prodotto per avere un logaritmo di argomento \(\displaystyle 1+\frac{1}{x}\)).
Sinceramente non ho idee su come poterne uscire con altri metodi, qualcuno potrebbe darmi lumi in merito?
Ringrazio anticipatamente, un saluto

[gugo82]

Quello che dà fastidio è $x^(1/x) - 1$, "ad occhio"... Ricorda che $[f(x)]^(g(x)) = e^(g(x) ln f(x))$ e che puoi usare Taylor.

[pilloeffe]

Ciao Albesa81,

Dopo aver seguito il consiglio di gugo82, si ha:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{ln^2x} (x(x^{\frac{1}{x}}-1)-ln(x)) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{ln^2x} (x(e^{\frac{ln x}{x}}-1)-ln x) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{ln^2x} (e^{\frac{ln x}{x}}-1 - (ln x)/x) $

A questo punto porrei $t := (ln x)/x $, sicché per $x \to +\infty \implies t \to 0^+ $ e si ha:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{ln^2x} (e^{\frac{ln x}{x}}-1 - (ln x)/x) = \lim_{t \to 0^+} (e^t -1 - t)/t^2 = 1/2 $

[Albesa81]

Eccolo, quel \(\displaystyle \frac{\ln x}{x} \) ...
E con questo ho capito che mi serve un bel mesetto di ferie perché sono esaurito
Ringrazio gugo82 e pilloeffe, un saluto