Limite (problema banale)
Ho un problema nel calcolare il limite del numeratore di questa funzione:
$Lim(x\to infty) (x^4 + x^5 e^(1/x) - x^5) /(x^5 log(x) - x^5 log(x+2))$
Al denominatore sono sicuro che il limite viene $-2$
ma al numeratore non so come muovermi, o meglio se provo a raccogliere $x^4$ mi ritrovo con:
$ x^4(1 + xe^(1/x) - x)$
ah raccolgo $x^4$ per poter svolgere il denominatore e poter applicare le proprietà dei logaritmi e compagnia bella.
Per il numeratore invece, sono sicuro che si tratti di qualche limite notevole o qualche proprieta' che non conosco.
Chi mi puo' dare delucidazione avrà la mia gratitudine.
Ciao
$Lim(x\to infty) (x^4 + x^5 e^(1/x) - x^5) /(x^5 log(x) - x^5 log(x+2))$
Al denominatore sono sicuro che il limite viene $-2$
ma al numeratore non so come muovermi, o meglio se provo a raccogliere $x^4$ mi ritrovo con:
$ x^4(1 + xe^(1/x) - x)$
ah raccolgo $x^4$ per poter svolgere il denominatore e poter applicare le proprietà dei logaritmi e compagnia bella.
Per il numeratore invece, sono sicuro che si tratti di qualche limite notevole o qualche proprieta' che non conosco.
Chi mi puo' dare delucidazione avrà la mia gratitudine.
Ciao
Risposte
Al denominatore sicuramente non viene -2:
$x^5(lnx-ln(x+2))=x^5(ln(x/{x+2}))=ln(x/{x+2})^{x^5}=ln[(1-2/{x+2})^{-{x+2}/2}]^{-2/{x+2}\cdotx^5}=ln(e^{-{2x^5}/{x+2}})\approx ln(e^{-2x^4})=-2x^4\to-\infty=>$
$\lim_{x\to+\infty} (x^4 + x^5 e^(1/x) - x^5) /(x^5 ln(x) - x^5 ln(x+2))\approx \lim_{x\to+\infty}{x^4+x^5e^{1/x}-x^5}/{-2x^4}$
Dato che per Taylor si ha : $ e^{1/x}=1+1/x+o(1/x)=>x^5(1+1/x+o(1/x))-x^5=x^5+x^4-x^5+o(x^4)=x^4+o(x^4)$
Quindi:
$\lim_{x\to+\infty}{x^4+x^5e^{1/x}-x^5}/{-2x^4}=lim_{x\to+\infty}{x^4+x^4+o(x^4)}/{-2x^4}=-1$
$x^5(lnx-ln(x+2))=x^5(ln(x/{x+2}))=ln(x/{x+2})^{x^5}=ln[(1-2/{x+2})^{-{x+2}/2}]^{-2/{x+2}\cdotx^5}=ln(e^{-{2x^5}/{x+2}})\approx ln(e^{-2x^4})=-2x^4\to-\infty=>$
$\lim_{x\to+\infty} (x^4 + x^5 e^(1/x) - x^5) /(x^5 ln(x) - x^5 ln(x+2))\approx \lim_{x\to+\infty}{x^4+x^5e^{1/x}-x^5}/{-2x^4}$
Dato che per Taylor si ha : $ e^{1/x}=1+1/x+o(1/x)=>x^5(1+1/x+o(1/x))-x^5=x^5+x^4-x^5+o(x^4)=x^4+o(x^4)$
Quindi:
$\lim_{x\to+\infty}{x^4+x^5e^{1/x}-x^5}/{-2x^4}=lim_{x\to+\infty}{x^4+x^4+o(x^4)}/{-2x^4}=-1$
Perdonami se ti rifaccio una domanda stupida... ok tutto chiaro limpido, non fa una piega.
Il problema, come mio solito, è nello sviluppo di $e^(1/x)$.
Allora lo sviluppo di taylor è:
$f(x) = f(x0) + f'(x0) (x -x0) + (f''(x0)/2!) (x-x0)^2 ecc ecc$
bene sia allora $e^(1/x)$ la nostra $f(x)$
$ e^(1/x) = e^(1/x0) + e^(1/x0) (1/x0^2) (x-x0) $
allora qui c'è qualcosa che non mi torna... se vado a sostituire $ 0 a x$.
Delucidazioni?
Grazie come sempre
Il problema, come mio solito, è nello sviluppo di $e^(1/x)$.
Allora lo sviluppo di taylor è:
$f(x) = f(x0) + f'(x0) (x -x0) + (f''(x0)/2!) (x-x0)^2 ecc ecc$
bene sia allora $e^(1/x)$ la nostra $f(x)$
$ e^(1/x) = e^(1/x0) + e^(1/x0) (1/x0^2) (x-x0) $
allora qui c'è qualcosa che non mi torna... se vado a sostituire $ 0 a x$.
Delucidazioni?
Grazie come sempre
Perchè ci vuoi sostituire 0? il limite dice che x tende ad infinito quindi 1/x tende a zero, se non fosse così non potresti fare lo sviluppo di taylor in un intorno dell'origine. Come dici tu 1/x tenderebbe ad infinito.
Perdonami ancora, ma adesso è ancora meno chiaro di prima.
Quando vado a fare lo sviluppo di Taylor di $e^(1/x)$ cosa succede...
o meglio mi mancano i passaggi per arrivare al tuo risultato $e^(1/x) = 1+1/x+o(1/x)$
A meno che sono io che non ho capito proprio il porcedimento per applicare Taylor.
$e^(1/x) = e^(1/x) + e^(1/x) (1/x^2) (x) + o(x) $
Bene ora, arrivato a questo punto che faccio?
O meglio lascio tutto qui?
Quando vado a fare lo sviluppo di Taylor di $e^(1/x)$ cosa succede...
o meglio mi mancano i passaggi per arrivare al tuo risultato $e^(1/x) = 1+1/x+o(1/x)$
A meno che sono io che non ho capito proprio il porcedimento per applicare Taylor.
$e^(1/x) = e^(1/x) + e^(1/x) (1/x^2) (x) + o(x) $
Bene ora, arrivato a questo punto che faccio?
O meglio lascio tutto qui?
Ok, allora:
Sostituiamo $1/x$ con $t$ ed otteniamo lo sviluppo di Taylor nell'origine $e^t=1+e^0t+o(t)=1+t+o(t)$
Adesso sostituendo ancora si ha $e^{1/x}=1+1/x+o(x)$.
Sostituiamo $1/x$ con $t$ ed otteniamo lo sviluppo di Taylor nell'origine $e^t=1+e^0t+o(t)=1+t+o(t)$
Adesso sostituendo ancora si ha $e^{1/x}=1+1/x+o(x)$.
Grazie, ora sembra piu' chiaro... il mio problema pensa sia solo l'approccio che ho con questi esercizi, sbaglio?
Grazie ancora vi farò sapere se sono riuscito a risolvere questo tipo di limiti "in scioltezza"
Grazie ancora vi farò sapere se sono riuscito a risolvere questo tipo di limiti "in scioltezza"
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