Limite per x tendente all'infinito
Salve ragazzi come va? Spero tutto bene!
In questo esercizio ho da calcolare il seguente limite:
$ xlog(sqrt(x^2+3x+3) - x-1)+xlog(2) $
con x che tende a +INFINITO
Ora io ho provato di tutto, anche a ricondurmi ad un prodotto di argomenti ma c'è sempre quella x che rimane fuori che mi fa trovare in disaccordo con il testo perchè come risultato è riportato 3/4
.... io invece mi trovo infinito!
Qualcuno che può suggerirmi come fare, non chiedo la soluzione, altrimenti non imparerò mai, ma un piccolo input!
In questo esercizio ho da calcolare il seguente limite:
$ xlog(sqrt(x^2+3x+3) - x-1)+xlog(2) $
con x che tende a +INFINITO
Ora io ho provato di tutto, anche a ricondurmi ad un prodotto di argomenti ma c'è sempre quella x che rimane fuori che mi fa trovare in disaccordo con il testo perchè come risultato è riportato 3/4
.... io invece mi trovo infinito!Qualcuno che può suggerirmi come fare, non chiedo la soluzione, altrimenti non imparerò mai, ma un piccolo input!
Risposte
Ciao AmedeoF,
Dopo aver raccolto la $x$ fra i due logaritmi, moltiplicherei l'argomento del primo logaritmo per $ frac{sqrt(x^2+3x+3) + (x+1)}{sqrt(x^2+3x+3) + (x+1)} $
Dopo aver raccolto la $x$ fra i due logaritmi, moltiplicherei l'argomento del primo logaritmo per $ frac{sqrt(x^2+3x+3) + (x+1)}{sqrt(x^2+3x+3) + (x+1)} $
Solo al primo logaritmo? Se non ho fatto male i conti mi trovo log(1/2)+log(2) il che mi restituisce 0 
Si ha:
$ lim_{x \to +\infty} [xlog(sqrt(x^2+3x+3) - x-1)+xlog(2)] = $
$ = lim_{x \to +\infty} x[log(sqrt(x^2+3x+3) - (x+1))+ log(2)] = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log(sqrt(x^2+3x+3) - (x+1)) + log(2)}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{(sqrt(x^2+3x+3) - (x+1))(sqrt(x^2+3x+3) + (x+1))}{sqrt(x^2+3x+3) + (x+1)} + log(2)}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{x^2+3x+3 - x^2 - 2x - 1}{sqrt(x^2+3x+3) + (x+1)} + log(2)}{1/x} = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{x+2}{x[sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x]} + log(2)}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{1+2/x}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x} + log(2)}{1/x} = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{2+4/x}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{1+1/x + sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}}{1/x} = lim_{x \to +\infty} frac{log(1 + frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x})}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log(1 + frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x})}{frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}) \cdot frac{frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log(1 + frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x})}{frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}) \cdot lim_{x \to +\infty} frac{x + 3 - sqrt(x^2+3x+3)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x} = $
$ = 1 \cdot 3/4 = 3/4 $
dato che $ lim_{x \to +\infty} (x - sqrt(x^2+3x+3)) = - 3/2 $
$ lim_{x \to +\infty} [xlog(sqrt(x^2+3x+3) - x-1)+xlog(2)] = $
$ = lim_{x \to +\infty} x[log(sqrt(x^2+3x+3) - (x+1))+ log(2)] = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log(sqrt(x^2+3x+3) - (x+1)) + log(2)}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{(sqrt(x^2+3x+3) - (x+1))(sqrt(x^2+3x+3) + (x+1))}{sqrt(x^2+3x+3) + (x+1)} + log(2)}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{x^2+3x+3 - x^2 - 2x - 1}{sqrt(x^2+3x+3) + (x+1)} + log(2)}{1/x} = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{x+2}{x[sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x]} + log(2)}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{1+2/x}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x} + log(2)}{1/x} = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{2+4/x}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log frac{1+1/x + sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}}{1/x} = lim_{x \to +\infty} frac{log(1 + frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x})}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log(1 + frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x})}{frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}) \cdot frac{frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}}{1/x} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{log(1 + frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x})}{frac{1 + 3/x - sqrt(1+3/x+3/x^2)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x}) \cdot lim_{x \to +\infty} frac{x + 3 - sqrt(x^2+3x+3)}{sqrt(1+3/x+3/x^2) + 1 + 1/x} = $
$ = 1 \cdot 3/4 = 3/4 $
dato che $ lim_{x \to +\infty} (x - sqrt(x^2+3x+3)) = - 3/2 $
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