Limite per x -> 0
Ciao,
ho un piccolo dubbio sui limiti di funzione che tendono a zero, di seguito faccio un esempio spero qualcuno mi possa aiutare:
io ho:
$ lim_(x -> 0) (e^(x^2) - cos x) / x^2 $
usando teilor e mecloren ho:
$ lim_(x -> 0) (1 + x^2 + x^4/2 + o(x^4) - 1 -x^2/2 + o(x^2)) / x^2 $
ovviamente +1 e -1 sene vanno.
ora il mio problema sono come gestire gli o (o-piccoli); io so che posso fare:
$ lim_(x -> 0) (3/2 x^2 + o(x^2)) / x^2 $
questo perchè la $x^2$ è più forte e posso dire che tutto il resto tende a o($x^2$) che a sua volta e trascuabbile??
in pratica il mio dubbio e perchè tengo solo o($x^2$), e poi perchè proprio o($x^2$)
forse perchè è la X con esponente più grande?? o perchè la posso semplificare a denominatore??
grazie
ho un piccolo dubbio sui limiti di funzione che tendono a zero, di seguito faccio un esempio spero qualcuno mi possa aiutare:
io ho:
$ lim_(x -> 0) (e^(x^2) - cos x) / x^2 $
usando teilor e mecloren ho:
$ lim_(x -> 0) (1 + x^2 + x^4/2 + o(x^4) - 1 -x^2/2 + o(x^2)) / x^2 $
ovviamente +1 e -1 sene vanno.
ora il mio problema sono come gestire gli o (o-piccoli); io so che posso fare:
$ lim_(x -> 0) (3/2 x^2 + o(x^2)) / x^2 $
questo perchè la $x^2$ è più forte e posso dire che tutto il resto tende a o($x^2$) che a sua volta e trascuabbile??
in pratica il mio dubbio e perchè tengo solo o($x^2$), e poi perchè proprio o($x^2$)
forse perchè è la X con esponente più grande?? o perchè la posso semplificare a denominatore??
grazie
Risposte
Ma serviva veramente usare gli sviluppi troncati?
In fondo...
$ lim_(x -> 0) (e^(x^2) - cos x) / x^2 = lim_(x -> 0) ((e^(x^2) - 1) + ( 1 - cos x )) / x^2 = lim_(x -> 0) (e^(x^2) - 1)/x^2 + (1 - cos x )/ x^2$
Cosa significa?
Qui c'è un errore. Non è $-x^2/2$ ma $+ x^2/2$
A questo punto puoi tenere $o(x^2)$ e trascurare tutti gli infinitesimi di ordine maggiore rispetto a $x^2$ (i quali vengono "mangiati" dall'o-piccolo). Il limite è il seguente:
$ lim_(x -> 0) ( x^2 + x^2/2 + o(x^2)) / x^2 $
In fondo...
$ lim_(x -> 0) (e^(x^2) - cos x) / x^2 = lim_(x -> 0) ((e^(x^2) - 1) + ( 1 - cos x )) / x^2 = lim_(x -> 0) (e^(x^2) - 1)/x^2 + (1 - cos x )/ x^2$
"daniele.a87":
questo perchè la $x^2$ è più forte e posso dire che tutto il resto tende a o($x^2$) che a sua volta e trascuabbile??
Cosa significa?
"daniele.a87":
usando teilor e mecloren ho:
$ lim_(x -> 0) (1 + x^2 + x^4/2 + o(x^4) - 1 -x^2/2 + o(x^2)) / x^2 $
Qui c'è un errore. Non è $-x^2/2$ ma $+ x^2/2$
A questo punto puoi tenere $o(x^2)$ e trascurare tutti gli infinitesimi di ordine maggiore rispetto a $x^2$ (i quali vengono "mangiati" dall'o-piccolo). Il limite è il seguente:
$ lim_(x -> 0) ( x^2 + x^2/2 + o(x^2)) / x^2 $
[OT]
Per la serie Chi sono questi signori XXX? (chi conosce la Settimana Enigmistica mi può capire...)
I due cognomi esatti sono Taylor e MacLaurin, come si può leggere qui o su un qualsiasi libro di Analisi.
[/OT]
"daniele.a87":
teilor e mecloren
Per la serie Chi sono questi signori XXX? (chi conosce la Settimana Enigmistica mi può capire...)
I due cognomi esatti sono Taylor e MacLaurin, come si può leggere qui o su un qualsiasi libro di Analisi.
[/OT]
Invito caldamente danielea87 a correggere mettendo i nomi giusti dei due matematici ( vuol dire che non li avevi mai visti scritti ? )
per i nomi dei matematici: si non lo mai visti scritti e non ci tengo a vederli.
[xdom="gugo82"]Bravo, continua a sguazzare nell'ignoranza.
Anzi, visto che ci tieni così tanto a rimanere in questo stato, ti faccio un bel regalo...
Chiudo.[/xdom]
per il limite:
@Seneca quello che volevo dire (apparte tutti gli errori) è il raggionamento che c'è dietro al passo:
A questo punto puoi tenere o(x2) e trascurare tutti gli infinitesimi di ordine maggiore rispetto a x2 (i quali vengono "mangiati" dall'o-piccolo).
facciamo tendere tutto a o($x^2$) perchè è la x di grado maggiore?? o perchè è a denominatore??
poi ho provato a fare un altro limite dove però quando tenevo la x di grado maggiore non mi usciva, per farlo uscire dovevo tenere l'altra x..
in conclusione non ho capito come faccio a capire quale x devo tenere..
grazie mille
[xdom="gugo82"]Bravo, continua a sguazzare nell'ignoranza.
Anzi, visto che ci tieni così tanto a rimanere in questo stato, ti faccio un bel regalo...
Chiudo.[/xdom]
per il limite:
@Seneca quello che volevo dire (apparte tutti gli errori) è il raggionamento che c'è dietro al passo:
A questo punto puoi tenere o(x2) e trascurare tutti gli infinitesimi di ordine maggiore rispetto a x2 (i quali vengono "mangiati" dall'o-piccolo).
facciamo tendere tutto a o($x^2$) perchè è la x di grado maggiore?? o perchè è a denominatore??
poi ho provato a fare un altro limite dove però quando tenevo la x di grado maggiore non mi usciva, per farlo uscire dovevo tenere l'altra x..
in conclusione non ho capito come faccio a capire quale x devo tenere..
grazie mille
"daniele.a87":
facciamo tendere tutto a o(x2) perchè è la x di grado maggiore?? o perchè è a denominatore??
La $x$ tende sempre verso il punto di accumulazione. $o(x^2)$ non è altro che una scrittura per indicare gli infinitesimi di ordine superiore rispetto a $x^2$. E' un RESTO, che per $x -> 0$ è infinitesimo.
Volendo completare lo svolgimento per vedere come ci si comporta con l'o-piccolo:
$lim_(x -> 0) (x^2 + x^2/2 + o(x^2))/x^2 = lim_(x -> 0) (x^2 + x^2/2)/x^2 + (o(x^2))/x^2$
Ma naturalmente è $lim_(x -> 0) (o(x^2))/x^2 = 0$ perché il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore rispetto al denominatore ( per $ x -> 0 $ ).
Il limite diventa semplicemente:
$lim_(x -> 0) (x^2 + x^2/2)/x^2 $
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