Limite per sostituzione

[foxxucv]

Ciao a tutti
Ho questo limite di cui non so trovare la soluzione: $lim_(x \to \4/5) (1-cos(5x-4))/(x-4/5)^2$

Ho capito di dover sostituire $x-4/5$ con $t$, e mi ritrovo ad avere $lim_(t \to \0) (1-cos(5t+4-4))/t^2$ però non so come proseguire.

[pilloeffe]

Ciao foxxucv,

Ma no, fai il denominatore comune in $(x-4/5)^2$, porti fuori dal limite il $5^2 = 25$ che ti viene e poi, posto $t := 5x - 4$ arrivi al limite notevole seguente:

$\lim_{t \to 0} frac{1 - cos(t)}{t^2} = frac{1}{2}$

[foxxucv]

L'ho fatto come hai detto tu e mi è venuto, ho scoperto però che anche partendo dal "quasi" limite notevole che mi era uscito con la prima sostituzione $lim_(t \to \0) (1-cos(5t))/t^2$ basta scriversi il risultato del limite originale $lim_(t \to \0) (1-cos(t))/t^2$ e moltiplicarlo per il quadrato del coefficiente che sta ad argomento del coseno, in questo caso $5^2$

[pilloeffe]

Sì, perché è come se facessi l'ulteriore posizione $u := 5t $, per cui si ha:

$\lim_{t \to 0} (1-cos(5t))/t^2 = \lim_{u \to 0} frac{1-cos(u)}{u^2/5^2} = 25\lim_{u \to 0} frac{1-cos(u)}{u^2} = frac{25}{2} $