Limite per Integrali impropri
Salve,
Dovrei stabilire se $f(x)=\sqrt {x}\ln (1+\frac{1}{x^2})$ è integrabile in senso generalizzato su [tex]]0,+\infty[[/tex]
Allora... la funzione integranda per $x\to +\infty$ è un infinitesimo di ordine $3/2>1$, infatti $\ln (1+\frac{1}{x^2})\sim \frac{1}{x^2}$. Quindi $f(x)$ rispetta la condizione necessaria per l'integrabilità e quella sufficiente per l'integrabilità in [tex][1,+\infty[[/tex].
Mi blocco appena devo capire quanto vale $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ , ossia se $f(x)$ è integrabile su $[0,1]$
Ho provato coi seguenti passaggi:
$\sqrt {x}\ln (1+\frac{1}{x^2})=\sqrt {x}[\ln (x^2+1)+\ln (\frac{1}{x^2})]$ in cui se $x\to 0^+$ allora posso confrontare $\ln (1+x^2)\sim x^2$.
Rimango così con:
$\lim_{x\to 0^+} \sqrt {x}[x^2-\ln x^2]$ ma non so quanto fa questo limite. O meglio...mi torna sempre la forma indeterminata $0*\infty$
Dovrei stabilire se $f(x)=\sqrt {x}\ln (1+\frac{1}{x^2})$ è integrabile in senso generalizzato su [tex]]0,+\infty[[/tex]
Allora... la funzione integranda per $x\to +\infty$ è un infinitesimo di ordine $3/2>1$, infatti $\ln (1+\frac{1}{x^2})\sim \frac{1}{x^2}$. Quindi $f(x)$ rispetta la condizione necessaria per l'integrabilità e quella sufficiente per l'integrabilità in [tex][1,+\infty[[/tex].
Mi blocco appena devo capire quanto vale $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ , ossia se $f(x)$ è integrabile su $[0,1]$
Ho provato coi seguenti passaggi:
$\sqrt {x}\ln (1+\frac{1}{x^2})=\sqrt {x}[\ln (x^2+1)+\ln (\frac{1}{x^2})]$ in cui se $x\to 0^+$ allora posso confrontare $\ln (1+x^2)\sim x^2$.
Rimango così con:
$\lim_{x\to 0^+} \sqrt {x}[x^2-\ln x^2]$ ma non so quanto fa questo limite. O meglio...mi torna sempre la forma indeterminata $0*\infty$
Risposte
Per $x->0^+$:
$ln(1+1/x^2)=ln(1/x^2 (1+x^2)) = ln(1/x^2)+ ln(x^2+1)= -2lnx + o(1)$ (ci interessano gli infiniti, non gli infinitesimi).
Quindi il limite è uguale a $lim_(x->0^+) -2 sqrtx ln x = 0$ (si può vedere con De L'Hopital).
$ln(1+1/x^2)=ln(1/x^2 (1+x^2)) = ln(1/x^2)+ ln(x^2+1)= -2lnx + o(1)$ (ci interessano gli infiniti, non gli infinitesimi).
Quindi il limite è uguale a $lim_(x->0^+) -2 sqrtx ln x = 0$ (si può vedere con De L'Hopital).
"fireball":
$ -2lnx + o(1)$ (ci interessano gli infiniti, non gli infinitesimi).
Perchè?
"fireball":
Quindi il limite è uguale a $lim_(x->0^+) -2 sqrtx ln x = 0$ (si può vedere con De L'Hopital).
Non mi è chiaro questo passaggio
"Orlok":
[quote="fireball"]
$ -2lnx + o(1)$ (ci interessano gli infiniti, non gli infinitesimi).
Perchè?
[/quote]
Beh, il limite della somma di una cosa che va all'infinito e una che va a 0 qual è?
"Orlok":
[quote="fireball"]
Quindi il limite è uguale a $lim_(x->0^+) -2 sqrtx ln x = 0$ (si può vedere con De L'Hopital).
Non mi è chiaro questo passaggio
[/quote]Ho sostituito semplicemente nel limite originario e per calcolare il limite di $sqrtx lnx$ basta usare De L'Hopital,
infatti $lim_(x->0^+) (lnx)/(1/(sqrtx)) = lim_(x->0^+) (1/x)/(-1/(2x^(3/2))) = lim_(x->0^+) (-2 sqrt x) = 0$.
Ma De L'Hopital, in questo caso, ci dice anche di che ordine è l'infinitesimo? Cioè, possiamo fare affidamento all'ordine di $\frac{f'(x)}{g'(x)}$
Perchè?
[/quote]
Beh, il limite della somma di una cosa che va all'infinito e una che va a 0 qual è?[/quote]
Ok. Credevo fosse una cosa legata agli integrali.
Bene, adesso che so che $\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$ e quindi prolungabile in $x=0$ affinchè risulti integrabile su $[0,1]$ in questo caso quale condizione deve essere rispettata?
"fireball":
[quote="Orlok"][quote="fireball"]
$ -2lnx + o(1)$ (ci interessano gli infiniti, non gli infinitesimi).
Perchè?
[/quote]
Beh, il limite della somma di una cosa che va all'infinito e una che va a 0 qual è?
[/quote]Ok. Credevo fosse una cosa legata agli integrali.
Bene, adesso che so che $\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$ e quindi prolungabile in $x=0$ affinchè risulti integrabile su $[0,1]$ in questo caso quale condizione deve essere rispettata?
In realtà uno, ad essere preciso, dovrebbe mettere il punto interrogativo sopra ogni "uguale" quando applica De L'Hopital, in quanto
il teorema afferma che, sotto opportune ipotesi, se esiste il limite del rapporto delle derivate i-esime, allora esiste il limite del rapporto iniziale
ed è pari proprio al limite del rapporto delle derivate i-esime.
Comunque, quello che puoi dire è: visto che, applicando De L'Hopital, abbiamo trovato che $\lim_{x\to0^+} \sqrt x \ln x (= \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt x}}= \lim_{x\to0^+} \frac{\sqrt x}{\frac{1}{\ln x}}) = 0$
possiamo concludere che $\ln x$ è un infinito di ordine inferiore a $1/sqrtx$ per $x->0^+$; alternativamente, si può dire che $sqrt x$ è un infinitesimo di ordine superiore a $1/ln x$ per $x->0^+$.
O, ancora, in termini più informali, che, per $x->0^+$, $sqrt x->0$ più velocemente di quanto $ln x->-oo$.
Quindi in conclusione la risposta è SI', quella funzione è integrabile in senso improprio in $(0,+oo)$. Volendo l'integrale si può
anche calcolare esplicitamente, tramite la primitiva, ma è un conto noioso e lungo...
il teorema afferma che, sotto opportune ipotesi, se esiste il limite del rapporto delle derivate i-esime, allora esiste il limite del rapporto iniziale
ed è pari proprio al limite del rapporto delle derivate i-esime.
Comunque, quello che puoi dire è: visto che, applicando De L'Hopital, abbiamo trovato che $\lim_{x\to0^+} \sqrt x \ln x (= \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt x}}= \lim_{x\to0^+} \frac{\sqrt x}{\frac{1}{\ln x}}) = 0$
possiamo concludere che $\ln x$ è un infinito di ordine inferiore a $1/sqrtx$ per $x->0^+$; alternativamente, si può dire che $sqrt x$ è un infinitesimo di ordine superiore a $1/ln x$ per $x->0^+$.
O, ancora, in termini più informali, che, per $x->0^+$, $sqrt x->0$ più velocemente di quanto $ln x->-oo$.
Quindi in conclusione la risposta è SI', quella funzione è integrabile in senso improprio in $(0,+oo)$. Volendo l'integrale si può
anche calcolare esplicitamente, tramite la primitiva, ma è un conto noioso e lungo...
Ora il mio dubbio è...
Se per caso mi capita una funzione del tipo $f(x)=\frac{1}{e^{\ln^{2} x}}$ e vogliamo sapere se è integrabile in senso improprio sempre su [tex]]0,+\infty[[/tex] , una volta che scopro che $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$ e che $\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$ come bisogna regolarsi con gli ordini di infinito e di infinitesimo per l'integrabilità ?
Se per caso mi capita una funzione del tipo $f(x)=\frac{1}{e^{\ln^{2} x}}$ e vogliamo sapere se è integrabile in senso improprio sempre su [tex]]0,+\infty[[/tex] , una volta che scopro che $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$ e che $\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$ come bisogna regolarsi con gli ordini di infinito e di infinitesimo per l'integrabilità ?
Beh, intorno a 0 no problem... Per $x->+oo$ invece è un infinitesimo di ordine superiore a $1/x^a$ per ogni $a>0$
(vuol dire che va a 0 più velocemente di qualsiasi potenza di $1/x$, e anche questo si può provare con De L'Hopital),
per cui sicuramente la funzione è integrabile in $(0,+oo)$.
(vuol dire che va a 0 più velocemente di qualsiasi potenza di $1/x$, e anche questo si può provare con De L'Hopital),
per cui sicuramente la funzione è integrabile in $(0,+oo)$.
Ah ecco, adesso è chiaro. Ti ringrazio davvero tantissimo!!!! 
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