Limite per c.n. di convergenza di una serie

[lupomatematico]

Come si calcola il seguente limite:

limite per n->+00 di $(n!)^2/((2n)!)

[cirasa]

Prova ad usare il seguente

Teorema:
Sia [tex]\displaystyle \{a_n\}_{n=0}^\infty[/tex] una successione di numeri reali positivi. Supponiamo che esista [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L[/tex].
Se [tex]\displaystyle L>1[/tex], allora [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty[/tex].
Se [tex]\displaystyle L<1[/tex], allora [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0[/tex].

Ciao!

[lupomatematico]

Avevo studiato la serie con il metodo del rapporto. Mi interessa però in particolare la risoluzione di quel limite, che sarebbe la verifica della condizione necessaria per la convergenza. Qualcuno di voi ha qualche idea su come risolverlo?

[gac1]

Cosa non ti è chiaro del teorema citato da cirasa?

[lupomatematico]

Vorrei solo sapere la risoluzione del limite che ho postato.

[gac1]

$a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$.
Prova a calcolare $\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

[lupomatematico]

Quel limite riesco a calcolarlo,il problema è il limite che ho scritto all'inizio...

[strangolatoremancino]

"lupomatematico":Quel limite riesco a calcolarlo,il problema è il limite che ho scritto all'inizio...

Allora dovresti aver finito (forse). Quanto ti viene $\lim_(n->+oo) \frac{a_{n+1}}{a_n}$?

[lupomatematico]

Quel limite viene 1/4 quindi la serie converge. La mia era solo una curiosità sul limite di partenza...

[strangolatoremancino]

Il fatto che $\lim_(n->+oo) \frac{a_{n+1}}{a_n}=1/4<1$ ci dice che

-$sum a_n$ converge per il criterio del rapporto per le serie

-$\lim_(n->+oo) a_n=0$ per il criterio del rapporto per le successioni