Limite pazzesco

[maverick901]

$ lim_(x -> +oo) log ( (3x-1)/(3x+2) )^(e^x-1) $

il risultato è $-oo$

ho provato usando la formula $ f(x)^(g(x)) rArr e^{g(x)log f(x)} $ ma non viene...ad un certo punto avevo $log$ di $log$

[ciampax]

Così ti complichi la vita inutilmente. Prova a riportare l'argomento del logaritmo in una forma per cui puoi applicare il limite notevole [tex]$\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e$[/tex]

[Quinzio]

"maverick90":$ lim_(x -> +oo) log ( (3x-1)/(3x+2) )^(e^x-1) $

Proverei questa via:

$ lim_(x -> +oo) log ( (3x-1)/(3x+2) )^(e^x-1) = $
$ lim_(x -> +oo) (e^x-1)\log ( (3x-1)/(3x+2) ) = $
siccome $ lim_(x -> +oo) (-1)\log ( (3x-1)/(3x+2) ) = 0$
Rimane:
$ lim_(x -> +oo) (e^x)\log ( (3x-1)/(3x+2) ) = $
Per confronto con
$ lim_(x -> +oo) (e^x)\log ( (3x-1)/(3x+2) ) < lim_(x -> +oo) (x^2)\log ( (3x-1)/(3x+2) ) = -oo $
il risultato è $-oo$

L'ultimo passaggio lo lascio a te da dimostrare.

[maverick901]

"Quinzio":[quote="maverick90"]$ lim_(x -> +oo) log ( (3x-1)/(3x+2) )^(e^x-1) $

$ lim_(x -> +oo) (e^x)\log ( (3x-1)/(3x+2) ) < lim_(x -> +oo) (x^2)\log ( (3x-1)/(3x+2) ) = -oo $
il risultato è $-oo$

L'ultimo passaggio lo lascio a te da dimostrare.[/quote]
Non capisco da dove viene $x^2$...

[Quinzio]

L' ho scelto io tra le varie funzioni che potevano essere utili. Come funziona altrimenti il confronto ?

[maverick901]

"Quinzio":L' ho scelto io tra le varie funzioni che potevano essere utili. Come funziona altrimenti il confronto ?

Ho provato in questo modo:

$ lim_(x -> +oo) log ( (3x-1)/(3x+2) )^(e^x-1) = $

$[ (3x-1)/(3x+2) = 1 + (-3)/(3x+2) = 1 + 1/((3x+2)/(-3)) ]$

$ lim_(x -> +oo ) log {[(1+1/((3x+2)/(-3)))^((3x+2)/(-3))]^((-3)/(3x+2))}^(e^x-1) $

dato che $ (1+1/((3x+2)/(-3)))^((3x+2)/(-3)) = e $

abbiamo $ lim_(x -> +oo ) log e^(((-3)/(3x+2))^(e^x-1)) = lim_(x -> +oo ) log e^((-3e^x+3)/(3x+2)) = lim_(x -> +oo ) ((-3e^x+3)/(3x+2)) log e $

$ log e = 1 $ ; $ lim_(x -> +oo ) ((-3e^x+3)/(3x+2)) = -oo/oo $

applicando De L'Hôpital $ lim_(x -> +oo ) ((-3e^x)/(3)) = lim_(x -> +oo ) -e^x = -oo $

Secondo te funziona o è solo frutto della mia immaginazione?

Ps. l'ultimo passaggio del confronto che hai proposto tu non sono riuscito a dimostrarlo...

[Quinzio]

Direi che va bene.
Alla fine è come il mio, si usa il confronto tra $e^x>x$

Credo che l'Hopital abbia qualche problema ad usarlo all'infinito, ma sono più che altro formalismi, per funzionare funziona.

[maverick901]

"Quinzio":Direi che va bene.
Alla fine è come il mio, si usa il confronto tra $e^x>x$

Credo che l'Hopital abbia qualche problema ad usarlo all'infinito, ma sono più che altro formalismi, per funzionare funziona.

Perfetto, grazie mille stavo impazzendo dietro questo limite