Limite ostico

[geovito]

Salve
ho questo limite
$\lim_{x \to \+infty}(3e^(arctgx-(pix^2+1)/(2x^2+5))-2)^x$, in forma indeterminata $1^infty$
Provo a risolverlo così:
$\lim_{x \to \+infty}(3e^((2x^3+5x-pix^2+1)/(2x^2+5))-2)^x$, da cui $(3e^x-2)^x$ dopo aver trascurato gli infiniti minori.
Ancora
$e^(xlog(1+(3e^(x)-2)-1]$, da cui $e^(xlog[1+3(e^(x)-1)]$, quindi $e^(3x^(2))$ e mi pianto.........
Mi date qualche suggerimento?
Grazie

[gugo82]

"vitus":$\lim_{x \to \+infty}(3e^(arctgx-(pix^2+1)/(2x^2+5))-2)^x$

L'idea è cercare di usare un limite notevole di tipo esponenziale (per intenderci, qualcosa del tipo [tex]$\lim_{y\to +\infty} (1+\tfrac{1}{y})^y =e$[/tex]), quindi il problema è stabilire come va ad [tex]$1$[/tex] la base della potenza.

Per fare ciò, scriverei:

[tex]$3e^{\arctan x- \frac{\pi x^2+1}{2x^2+5}}-2 =1+3\left( e^{\arctan x- \frac{\pi x^2+1}{2x^2+5}}-1\right)$[/tex]

e mi studierei come va a zero [tex]$e^{\arctan x- \frac{\pi x^2+1}{2x^2+5}}-1$[/tex].
Per lo sviluppo di McLaurin si ha:

[tex]$e^{\arctan x- \frac{\pi x^2+1}{2x^2+5}}-1 =\arctan x- \frac{\pi x^2+1}{2x^2+5} +\text{o} \left( \arctan x- \frac{\pi x^2+1}{2x^2+5} \right)$[/tex]

quindi basta vedere cosa fa l'esponente [tex]$\arctan x- \frac{\pi x^2+1}{2x^2+5}$[/tex] quando [tex]$x\to +\infty$[/tex].