Limite ostico

[otta96]

Stavo cercando di risolvere questo limite, ma non ci sono riuscito, mi aiutate?
Il limite è questo: $lim_(x->0^+)1/x\int_0^x arctant/(x+t^2)dt$, ho provato ad usare l'Hopital ma diventa una casino.

[anto_zoolander]

Media integrale?

[Studente Anonimo]

"anto_zoolander":
Media integrale?

Non mi sembra immediatamente dirimente. Tuttavia:

$[\int_0^xarctant/(x+t^2)dt=\int_0^x(t+o(t))/(x+t^2)dt=1/2log(1+x)+(o(barx)x)/(x+barx^2)] ^^ [0 lt barx lt x]$

Inoltre:

$[0 lt barx lt x] rarr [o(barx)=o(x)] ^^ [barx^2=o(x)]$

In definitiva:

$lim_(x->0^+)[1/x\int_0^xarctant/(x+t^2)dt]=lim_(x->0^+)[1/2log(1+x)/x+(o(x))/(x+o(x))]=1/2$

[dan952]

Lemma
Per $t>0$ vale
$t>\text{arctan}(t)>t-t^3$
Dim. Vediamo la minorazione, la maggiorazione si dimostra in maniera analoga. Sia $f(t)=\arctan(t)-t-t^3$ basta mostrare che $f(t)<0$ per $t>0$, infatti dal fatto $f(0)=0$ e $f'(t)=-\frac{(3t^2+1)(t^2+1)}{1+t^2}$ ovvero $f$ è decrescente si ricava la tesi.

Risulta quindi
\begin{equation}
\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{t-t^3}{x+t^2}dt \leq \frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{\text{arctan}(t)}{x+t^2}dt \leq \frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{t}{x+t^2}dt
\end{equation}
Chiaramente $0\leq\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{t^3}{x+t^2}dt \leq \frac{1}{x}\int_{0}^{x} t dt=x/2$ da cui ricaviamo che $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{t^3}{x+t^2}dt=0$. Passando la (1) al limite ricaviamo il valore di Elias

[otta96]

Grazie delle risposte, non mi torna la derivata della $f$, ma comunque mi viene sempre negativa, quindi non c'è problema, vi ringrazio di avermi risposto.