Limite ostico
Ciao a tutti,
ho un po' di problemi a risolvere il seguente limite:
$lim x->1 (x/(x-1)-1/logx) $
io ho ottenuto:
$(x-1)/(x-1)$
solo che il risultato è 1/2....
ho un po' di problemi a risolvere il seguente limite:
$lim x->1 (x/(x-1)-1/logx) $
io ho ottenuto:
$(x-1)/(x-1)$
solo che il risultato è 1/2....
Risposte
Hai a disposizione gli sviluppi di Taylor,tra le tue conoscenze attuali?
Saluti dal web.
Saluti dal web.
No 
E nemmeno il Teorema del Marchese(o De L'Hospital che dir si voglia..),immagino:
la vedo dura,allora,ma invito chiunque abbia lampi in tal senso(me compreso,ovvio..)a rispondere.
Saluti dal web.
la vedo dura,allora,ma invito chiunque abbia lampi in tal senso(me compreso,ovvio..)a rispondere.
Saluti dal web.
nessuno ha qualche idea??
\( \displaystyle u=ln x\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 1}{lim}\left( \frac{x}{x-1}-\frac{1}{ln x}\right)\)
\( \displaystyle =\underset{u \rightarrow 0}{lim}\left( \frac{e^u}{e^u-1}-\frac{1}{u}\right)=\underset{u \rightarrow 0}{lim} \frac{ue^u-e^u+1}{u(e^u-1)} \overset{H}{=}\underset{u \rightarrow 0}{lim}\frac{ue^u}{e^u-1+ue^u}\overset{H}{=}\underset{u \rightarrow 0}{lim}\frac{ue^u+e^u}{e^u+ue^u+e^u}\)
\( \displaystyle \overset{H}{=}\underset{u \rightarrow 0}{lim}\frac{u+1}{2+u}=\frac{1}{2}\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 1}{lim}\left( \frac{x}{x-1}-\frac{1}{ln x}\right)\)
\( \displaystyle =\underset{u \rightarrow 0}{lim}\left( \frac{e^u}{e^u-1}-\frac{1}{u}\right)=\underset{u \rightarrow 0}{lim} \frac{ue^u-e^u+1}{u(e^u-1)} \overset{H}{=}\underset{u \rightarrow 0}{lim}\frac{ue^u}{e^u-1+ue^u}\overset{H}{=}\underset{u \rightarrow 0}{lim}\frac{ue^u+e^u}{e^u+ue^u+e^u}\)
\( \displaystyle \overset{H}{=}\underset{u \rightarrow 0}{lim}\frac{u+1}{2+u}=\frac{1}{2}\)
Woo non ci sarei mai arrivato Ne approfitto per farti qualche domanda: (scusa la mia ignoranza)
- cosa significa l'H sopra il l'uguale??
- la scomparsa del $-1$ è legata alla comparsa del $e^u$ ??
Grazie !!
Quell'H indica l'applicazione del Teorema di De L'Hospital:
a questo punto mi (ri..)domando se è tra le tue conoscenze..
Saluti dal web
a questo punto mi (ri..)domando se è tra le tue conoscenze..
Saluti dal web
no, niente Teorema del Marchese
edit:
Forse ho trovato ma non so se quello che faccio è "legale"!
riprendendo da $(ue^u-e^u+1)/(u(e^u-1))$:
sfrutto l'asintotico di $e$ e ottengo $u^2$ e poi torno a $logx$ e ottengo:
$(logx(x)-x+1)/(2logx)$ e siccome $x->1$ mi rimane $1/2$ !
Edit$^2$:
Non posso farlo perché uscirebbe $log^2x$ e non $logx^2$
edit:
Forse ho trovato ma non so se quello che faccio è "legale"!
riprendendo da $(ue^u-e^u+1)/(u(e^u-1))$:
sfrutto l'asintotico di $e$ e ottengo $u^2$ e poi torno a $logx$ e ottengo:
$(logx(x)-x+1)/(2logx)$ e siccome $x->1$ mi rimane $1/2$ !
Edit$^2$:
Non posso farlo perché uscirebbe $log^2x$ e non $logx^2$
@Windserfer: perchè non va bene il Th. del Marchese ??
"commodore64":
@Windserfer: perchè non va bene il Th. del Marchese ??
Evidentemente perché a lezione non è ancora stato spiegato!
Proviamo a venirne fuori con tecniche da liceo
Se unisci le frazioni e fai la sostituzione \(x-1 = t\) ottieni
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln x} = \lim_{t \to 0} \frac{(t+1) (\ln(t+1) -1)}{t \ln(1 + t)}.
\]
Adesso usa i limiti notevoli che conosci e guarda cosa succede.
"Raptorista":
[quote="commodore64"]@Windserfer: perchè non va bene il Th. del Marchese ??
Evidentemente perché a lezione non è ancora stato spiegato!
Proviamo a venirne fuori con tecniche da liceo
Se unisci le frazioni e fai la sostituzione \(x-1 = t\) ottieni
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln x} = \lim_{t \to 0} \frac{(t+1) (\ln(t+1) -1)}{t \ln(1 + t)}.
\]
Adesso usa i limiti notevoli che conosci e guarda cosa succede.[/quote]
Credo tu abbia fatto un errore oppure hai scritto male.
Dopo la sostituzione ottengo
$\lim_(t->0) ((t+1)ln(t+1)-t)/(tln(t+1))$
Sì, potrei aver fatto i conti sbagliati, ma tanto quello che conta è il concetto!
"Raptorista":
Evidentemente perché a lezione non è ancora stato spiegato!
Esattamente!
"Raptorista":
Proviamo a venirne fuori con tecniche da liceo
Se unisci le frazioni e fai la sostituzione \(x-1 = t\) ottieni
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln x} = \lim_{t \to 0} \frac{(t+1) (\ln(t+1) -1)}{t \ln(1 + t)}.
\]
Adesso usa i limiti notevoli che conosci e guarda cosa succede.
Ok! Il mio problema allora sono i limiti notevoli: io vedo solo il $log(t+1)\simt$
Comincia ad applicare quello e vedi che cosa ottieni. Se non arrivi alla soluzione, scrivi i passaggi qui!
allora, mi viene:
$(xlogx-(x-1))/((x-1)logx)$
poi pongo $(x-1)=t$
$((t+1)log(t+1)-t)/(tlog(t+1))$
con il limite notevole del $log$ arrivo a:
$((t+1)t-t)/t^2$
e poi? anche raccogliendo $t$ non arrivo al risultato giusto!
$(xlogx-(x-1))/((x-1)logx)$
poi pongo $(x-1)=t$
$((t+1)log(t+1)-t)/(tlog(t+1))$
con il limite notevole del $log$ arrivo a:
$((t+1)t-t)/t^2$
e poi? anche raccogliendo $t$ non arrivo al risultato giusto!
È vero, questo limite così non esce perché i termini determinanti sono quelli del secondo ordine, che però tu butti via con il limite notevole \(\ln (1+t) \sim t\)...
Ammesso che sia possibile farlo senza H e senza Taylor, ci dev'essere qualche barbatrucco
Ammesso che sia possibile farlo senza H e senza Taylor, ci dev'essere qualche barbatrucco
@Raptorista.
Ho la sensazione che la relazione tra questo limite ed uno che ti dovrebbe interessare molto,
ossia quello della successione di termine generale $1/(e^n)sum_(k=0)^(n) (n^k)/(k"!")$,
sia molto più stretta di quanto non sembri:
forse per questo quel limite non si riesce a svolgere senza il Marchese o Taylor,
e magari é la ragione per la quale l'insegnante l'ha assegnato un pò "prematuramente"
(cioè per togliersi ulteriormente il dubbio sulla non elementarità dell'eliminazione di quella forma indeterminata,
che sarebbe evidentemente passato o confermato se nella platea dei suoi uditori ci fosse stato qualcuno capace,
con "occhi da bimbo",di veder qualcosa che a lui sfuggiva..)!
@Windsurfer.
Hai già completato la teoria sulle successioni,
in particolar modo il teorema della media aritmetica ed i suoi corollari?
Ed i teoremi "ponte" che legano tale tipologia di limiti con quelli delle funzioni reali di variabile reale?
Facci sapere:
saluti dal web.
Ho la sensazione che la relazione tra questo limite ed uno che ti dovrebbe interessare molto,
ossia quello della successione di termine generale $1/(e^n)sum_(k=0)^(n) (n^k)/(k"!")$,
sia molto più stretta di quanto non sembri:
forse per questo quel limite non si riesce a svolgere senza il Marchese o Taylor,
e magari é la ragione per la quale l'insegnante l'ha assegnato un pò "prematuramente"
(cioè per togliersi ulteriormente il dubbio sulla non elementarità dell'eliminazione di quella forma indeterminata,
che sarebbe evidentemente passato o confermato se nella platea dei suoi uditori ci fosse stato qualcuno capace,
con "occhi da bimbo",di veder qualcosa che a lui sfuggiva..)!
@Windsurfer.
Hai già completato la teoria sulle successioni,
in particolar modo il teorema della media aritmetica ed i suoi corollari?
Ed i teoremi "ponte" che legano tale tipologia di limiti con quelli delle funzioni reali di variabile reale?
Facci sapere:
saluti dal web.
Suggerisco questa soluzione:
\(\displaystyle l=\underset{ x \to 1}{lim} \left ( \frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right ) =\underset{u \to 0}{lim}\frac{ue^u-e^u+1}{u(e^u-1)}\) (vedi la mia prima risposta)
Possiamo anche scrivere:
\( \displaystyle l= \underset{u \to 0}{lim}\frac{u}{e^u-1}\frac{ue^u-e^u+1}{u^2}\)
Il limite del primo fattore è uguale a 1, quindi
\( l=\displaystyle \underset{u \to 0}{lim}\frac{ue^u-e^u+1}{u^2}= \underset{u \to 0}{lim}\frac{-ue^{-u}-e^{-u}+1}{u^2}\)
\( \displaystyle 2l=\underset{u \to 0}{lim}\left (\frac{ue^u-e^u+1}{u^2}+ \frac{-ue^{-u}-e^{-u}+1}{u^2} \right)=\underset{u \to 0}{lim} \frac{u(e^u-e^{-u})-(e^u+e^{-u}-2)}{u^2}\)
\( \displaystyle = \underset{u \to 0}{lim} \frac{u(e^u-e^{-u})-(e^{\frac{u}{2}}-e^{-\frac{u}{2}})^2}{u^2}\)
\( \displaystyle = \underset{u \to 0}{lim} \frac{e^u-e^{-u}}{u}-\left( \frac{e^{\frac{u}{2}}-e^{-\frac{u}{2}}}{u}\right)^2\)
Adesso:
\( \displaystyle \underset{u \to 0}{lim} \frac{e^u-e^{-u}}{u}= \frac{e^u-1}{u}-\frac{e^{-u}-1}{u}=2\)
\( \displaystyle \underset{u \to 0}{lim} \frac{e^{\frac{u}{2}}-e^{-\frac{u}{2}}}{u}=1\)
Quindi:
\( \displaystyle 2l=1\) e \( l=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle l=\underset{ x \to 1}{lim} \left ( \frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right ) =\underset{u \to 0}{lim}\frac{ue^u-e^u+1}{u(e^u-1)}\) (vedi la mia prima risposta)
Possiamo anche scrivere:
\( \displaystyle l= \underset{u \to 0}{lim}\frac{u}{e^u-1}\frac{ue^u-e^u+1}{u^2}\)
Il limite del primo fattore è uguale a 1, quindi
\( l=\displaystyle \underset{u \to 0}{lim}\frac{ue^u-e^u+1}{u^2}= \underset{u \to 0}{lim}\frac{-ue^{-u}-e^{-u}+1}{u^2}\)
\( \displaystyle 2l=\underset{u \to 0}{lim}\left (\frac{ue^u-e^u+1}{u^2}+ \frac{-ue^{-u}-e^{-u}+1}{u^2} \right)=\underset{u \to 0}{lim} \frac{u(e^u-e^{-u})-(e^u+e^{-u}-2)}{u^2}\)
\( \displaystyle = \underset{u \to 0}{lim} \frac{u(e^u-e^{-u})-(e^{\frac{u}{2}}-e^{-\frac{u}{2}})^2}{u^2}\)
\( \displaystyle = \underset{u \to 0}{lim} \frac{e^u-e^{-u}}{u}-\left( \frac{e^{\frac{u}{2}}-e^{-\frac{u}{2}}}{u}\right)^2\)
Adesso:
\( \displaystyle \underset{u \to 0}{lim} \frac{e^u-e^{-u}}{u}= \frac{e^u-1}{u}-\frac{e^{-u}-1}{u}=2\)
\( \displaystyle \underset{u \to 0}{lim} \frac{e^{\frac{u}{2}}-e^{-\frac{u}{2}}}{u}=1\)
Quindi:
\( \displaystyle 2l=1\) e \( l=\frac{1}{2}\)
Oggi sono andato dal tutor per vedere che ne pensava lui....
dopo una mezz'ora di tentativi ha deciso di chiamare la prof e chiedere lumi...
La soluzione? In quel particolare anno aveva spiegato anche il Teorema del Marchese prima del primo parziale.
Ho cercato sul programma e sul libro ma non lo trovo, non è che ha anche un altro nome?
Scusatemi per il tempo che vi ho fatto perdere!
E grazie per avermi dato una mano!
@Totissimus
Complimenti!
dopo una mezz'ora di tentativi ha deciso di chiamare la prof e chiedere lumi...
La soluzione? In quel particolare anno aveva spiegato anche il Teorema del Marchese prima del primo parziale.
"theras":
in particolar modo il teorema della media aritmetica ed i suoi corollari?
Ho cercato sul programma e sul libro ma non lo trovo, non è che ha anche un altro nome?
Scusatemi per il tempo che vi ho fatto perdere!
E grazie per avermi dato una mano!
@Totissimus
Complimenti!
@Toti.
Per completezza dovresti corredare la tua elegante verifica di quella della convergenza di $f(u)$ in un opportuno intorno di $0$..
@Windsurfer.
E' quel teorema che t'assicura come,se $EElim_(n to oo)a_n=overline(l) inRRuu{-oo,+oo}$,
allora $EElim_(n to oo)(a_1+..+a_n)/n=overline(l)$:
se lo conosci,insieme ad un paio d'interessanti suoi corollari,riparliamo di come li si può applicare al calcolo di quel limite.
Saluti dal web.
Per completezza dovresti corredare la tua elegante verifica di quella della convergenza di $f(u)$ in un opportuno intorno di $0$..
@Windsurfer.
E' quel teorema che t'assicura come,se $EElim_(n to oo)a_n=overline(l) inRRuu{-oo,+oo}$,
allora $EElim_(n to oo)(a_1+..+a_n)/n=overline(l)$:
se lo conosci,insieme ad un paio d'interessanti suoi corollari,riparliamo di come li si può applicare al calcolo di quel limite.
Saluti dal web.
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