Limite odioso
Ho trovato problemi con codesto limite
$\lim_{x\to 0^+} (log(1+e^(1/x))sin(x^7))/((1/(1-x^2))^(\sin^2 x)-x^4-1)$
Una volta tolti di mezzo i seni con $sin(x)/x=1$, l'espressione diventa
$\lim_{x\to 0^+} (\log(1+e^(1/x))x^7)/((1/(1-x^2))^(x^2)-x^4-1)$
Scrivo $1/(1-x^2)^(x^2)$ come $e^(-(x^2)\log(1-x^2))$
Dividendo e moltiplicando l'esponente per $-x^2$ e applicando il limite notevole $\log(1+y)/y\to 1$, il denominatore diventa
$e^(x^4)-x^4-1$
Approssimando con Taylor fino al secondo ordine viene
$1+x^4+1/2 x^8-1-x^4=1/2 x^8$.
A questo punto si semplificano $x^7$ del numeratore e l'$x^8$ del denominatore. Il limite quindi diventa
$\lim_{x\to 0^+} (\log(1+e^(1/x)))/x=\inf$.
Il risultato dovrebbe venire 6. Dove ho sbagliato?
$\lim_{x\to 0^+} (log(1+e^(1/x))sin(x^7))/((1/(1-x^2))^(\sin^2 x)-x^4-1)$
Una volta tolti di mezzo i seni con $sin(x)/x=1$, l'espressione diventa
$\lim_{x\to 0^+} (\log(1+e^(1/x))x^7)/((1/(1-x^2))^(x^2)-x^4-1)$
Scrivo $1/(1-x^2)^(x^2)$ come $e^(-(x^2)\log(1-x^2))$
Dividendo e moltiplicando l'esponente per $-x^2$ e applicando il limite notevole $\log(1+y)/y\to 1$, il denominatore diventa
$e^(x^4)-x^4-1$
Approssimando con Taylor fino al secondo ordine viene
$1+x^4+1/2 x^8-1-x^4=1/2 x^8$.
A questo punto si semplificano $x^7$ del numeratore e l'$x^8$ del denominatore. Il limite quindi diventa
$\lim_{x\to 0^+} (\log(1+e^(1/x)))/x=\inf$.
Il risultato dovrebbe venire 6. Dove ho sbagliato?
Risposte
Io preferirei svolgere il limite usando solo gli sviluppi asintotici e di Taylor...
$lim_(x->0^+) (log(1+e^(1/x))sin(x^7))/((1+x^2/(1-x^2))^(sin^2(x))-x^4-1)$
Intanto al numeratore puoi osservare che per $x->0^+$, $log(1+e^(1/x))sin(x^7)\∼\1/x*x^7$ quindi $log(1+e^(1/x))sin(x^7)\∼\x^6$
Al denominatore sviluppando al primo ordine per $x->0^+$ non otteniamo nulla, infatti riscrivendolo in questo modo:
$e^( log(1+x^2/(1-x^2))*sin^2(x)) -x^4-1$ infatti facendo i conti dovresti ottenere $o(x^4)$ quindi devi passare all'ordine successivo, ma lo lascio fare a te
$lim_(x->0^+) (log(1+e^(1/x))sin(x^7))/((1+x^2/(1-x^2))^(sin^2(x))-x^4-1)$
Intanto al numeratore puoi osservare che per $x->0^+$, $log(1+e^(1/x))sin(x^7)\∼\1/x*x^7$ quindi $log(1+e^(1/x))sin(x^7)\∼\x^6$
Al denominatore sviluppando al primo ordine per $x->0^+$ non otteniamo nulla, infatti riscrivendolo in questo modo:
$e^( log(1+x^2/(1-x^2))*sin^2(x)) -x^4-1$ infatti facendo i conti dovresti ottenere $o(x^4)$ quindi devi passare all'ordine successivo, ma lo lascio fare a te
come fai a stabilire che quel logaritmo è asintotico a 1/x?
L'ordine sucessivo viene, come detto, $1/2 x^8$, che semplificandosi con il tuo $x^6$ darebbe come limite $\infty$...ma purtroppo il limite è 6
L'ordine sucessivo viene, come detto, $1/2 x^8$, che semplificandosi con il tuo $x^6$ darebbe come limite $\infty$...ma purtroppo il limite è 6
\[\ln\left(1+e^{\frac{1}{x}}\right)\sim\ln\left( e^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{x}\ln\left( e \right)=\frac{1}{x}\]
Ok allora verrebbe
$\lim x^6/((1-x^2)^(-sin^2 x)-x^4-1)=\lim x^6/(e^(-sin^2 x\log(1-x^2))-x^4-1)=\lim x^6/(e^(x^4)-x^4-1)=$ $\lim x^6/(1+x^4+1/2 x^8-x^4-1)=+\infty$
no....
$\lim x^6/((1-x^2)^(-sin^2 x)-x^4-1)=\lim x^6/(e^(-sin^2 x\log(1-x^2))-x^4-1)=\lim x^6/(e^(x^4)-x^4-1)=$ $\lim x^6/(1+x^4+1/2 x^8-x^4-1)=+\infty$
no....
Ma scusami, il limite iniziale al denominatore aveva questa roba qui, quindi tu stai calcolando lo sviluppo di un'altra funzione...
$(1/(1-x^2))^(sin^2 x)-x^4-1$
Ed il suo sviluppo è questo qui:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ta ... 1+at+x%3D0
Quindi sostituendo nel limite dovremmo avere $lim_(x->0^+) (x^6+o(x^6))/(x^6/6+o(x^6))=6$
Riprendendo il tuo denominatore, possiamo riscriverlo come:
$e^(sin^2(x)*log(1+x^2/(1-x^2)))-x^4-1$
E' questo che devi sviluppare
$(1/(1-x^2))^(sin^2 x)-x^4-1$
Ed il suo sviluppo è questo qui:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ta ... 1+at+x%3D0
Quindi sostituendo nel limite dovremmo avere $lim_(x->0^+) (x^6+o(x^6))/(x^6/6+o(x^6))=6$
Riprendendo il tuo denominatore, possiamo riscriverlo come:
$e^(sin^2(x)*log(1+x^2/(1-x^2)))-x^4-1$
E' questo che devi sviluppare
Ma ho applicato il limite notevole $(sin^2(x))/x^2 =1...$ non potevo farlo?
E' vero, però in ogni caso lo sviluppo di $(1-x^2)^(-sin^2(x))-x^4-1$ è sbagliato... posta il tuo sviluppo così vediamo cosa non va
no in realtà ho ragionato $(\dots)^(-\sin^2 x) =(\dots)^((-sin^2 x/x^2) x^2)$
e ho usato il limite notevole sinx/x =1...volevo sapere se è un errore concettuale
e ho usato il limite notevole sinx/x =1...volevo sapere se è un errore concettuale
Effettivamente io so che nel calcolo dei limiti non è lecito sostituire il valore di una parte del limite e poi svolgerlo... mi viene mente ad esempio $lim_(x->+oo) (1+1/x)^x=e$... ragionando in maniera errata potremmo dire che $1/x->0$ per $x->+oo$ quindi dovremmo calcolare $lim_(x->+oo) (1)^x=1$
Che dici $\lim 1^n$ è una forma indeterminata...comunque volendo fare le cose a modino per il teorema dei limiti possi dire che
$lim "frazione" = (\lim "num")/(\lim "denom")$. Nel denominatore ci sono molti addendi...se per esempio il denominatore è $A+B+C$ per il limite della somma posso scrivere $\lim denom=\lim A+\lim B+\lim C$.
Nel caso della fattispecie quindi siamo legittimati a calcolarci separatamente $\lim (1-x^2)^(-sin^2(x))$...e non vedo perchè non possiamo usare il limite notevole per vedere a dove tende l'esponente...
$lim "frazione" = (\lim "num")/(\lim "denom")$. Nel denominatore ci sono molti addendi...se per esempio il denominatore è $A+B+C$ per il limite della somma posso scrivere $\lim denom=\lim A+\lim B+\lim C$.
Nel caso della fattispecie quindi siamo legittimati a calcolarci separatamente $\lim (1-x^2)^(-sin^2(x))$...e non vedo perchè non possiamo usare il limite notevole per vedere a dove tende l'esponente...
Beh non proprio.. $1^n$ in forma esponenziale è uguale $e^(n*log(1))$... ma $log(1)=0$ quindi $e^(n*0)=1$...
Comunque ti assicuro che anche $(1-x^2)^(-sin^2(x))-x^4-1=x^6/6+o(x^6)$ quindi stai sbagliando lo sviluppo...
Per quanto riguarda l'uso dei limiti notevoli fai attenzione perché ad esempio prendendo questo limite qui...
$lim_(x->0) (sin(x)-x)/x^3$
Ad un primo guardo saremmo tentati dal dire:
$lim_(x->0) sin(x)/x^3-x/x^3$
Fin qui tutto bene...
$lim_(x->0) sin(x)/x*1/x^2-1/x^2$
A questo punto potremmo dire.. ma $sin(x)/x=1$ per $x->0$ quindi $lim_(x->0) 1*1/x^2-1/x^2=0$... Che è ovviamente sbagliato...
Comunque ti assicuro che anche $(1-x^2)^(-sin^2(x))-x^4-1=x^6/6+o(x^6)$ quindi stai sbagliando lo sviluppo...
Per quanto riguarda l'uso dei limiti notevoli fai attenzione perché ad esempio prendendo questo limite qui...
$lim_(x->0) (sin(x)-x)/x^3$
Ad un primo guardo saremmo tentati dal dire:
$lim_(x->0) sin(x)/x^3-x/x^3$
Fin qui tutto bene...
$lim_(x->0) sin(x)/x*1/x^2-1/x^2$
A questo punto potremmo dire.. ma $sin(x)/x=1$ per $x->0$ quindi $lim_(x->0) 1*1/x^2-1/x^2=0$... Che è ovviamente sbagliato...
Scusami, ma credo che tu stia sbagliando fortemente...$1^n$ è una forma indeterminata...anche la tua scrittura $e^(n\log 1)$ è indeterminata, perchè l'esponente della e tende a $\infty\cdot 0$...
Anche nel tuo esempio col seno ti sei ricondotto a $1/x^2-1/x^2\to +\infty-\infty$, quindi anch'essa è una forma indeterminata.
Comunque ti scrivo come sviluppo quel dannato.
$(1-x^2)^(-sin^2 x) =e^(-sin^2 x \log (1-x^2))=1-sin^2 x \log (1-x^2)+1/2 \sin^4 x \log^2 (1-x^2)+ o(\cdots)$
Ora converrete che posso benissimo applicare quei limiti notevoli di cui parlavo prima...ed effettivamente trovo che quel denominatore è $1-x^4+1/2 x^8...$
Insomma aver sviluppato quel seno all'esponente prima era corretto, ma ho seguito la via alternativa...
Anche gnuplot mi dice che effettivamente quella roba è x^6+o(x^6)...quindi devo aver sbagliato qualcosa...
Anche nel tuo esempio col seno ti sei ricondotto a $1/x^2-1/x^2\to +\infty-\infty$, quindi anch'essa è una forma indeterminata.
Comunque ti scrivo come sviluppo quel dannato.
$(1-x^2)^(-sin^2 x) =e^(-sin^2 x \log (1-x^2))=1-sin^2 x \log (1-x^2)+1/2 \sin^4 x \log^2 (1-x^2)+ o(\cdots)$
Ora converrete che posso benissimo applicare quei limiti notevoli di cui parlavo prima...ed effettivamente trovo che quel denominatore è $1-x^4+1/2 x^8...$
Insomma aver sviluppato quel seno all'esponente prima era corretto, ma ho seguito la via alternativa...
Anche gnuplot mi dice che effettivamente quella roba è x^6+o(x^6)...quindi devo aver sbagliato qualcosa...
Beh il nostro caso non è proprio una forma indeterminata $+oo*0$.... Senza passare al limite $a_n=e^(log(1)*n)=1 AA n in NN$ in quanto $log(1)=0$...
Infatti l'esempio del seno era volutamente sbagliato e come risultato da $1/6$
Comunque per lo sviluppo non è così tremendo
$e^(-sin^2(x)*log(1-x^2))-x^4-1$
[size=130]
$e^(-(x-x^3/6+o(x^3))^2(-x^2-x^4/2+o(x^4)))-x^4-1$
$e^((-x^2+x^4/3+o(x^4))(-x^2-x^4/2+o(x^4)))-x^4-1$
$e^((x^4+x^6/2-x^6/3+o(x^6))-x^4-1$
$e^((x^4+x^6/6+o(x^6))-x^4-1$
[/size]
$1+x^4+x^6/6-x^4-1+o(x^6)=x^6/6+o(x^6)$
Infatti l'esempio del seno era volutamente sbagliato e come risultato da $1/6$
Comunque per lo sviluppo non è così tremendo
$e^(-sin^2(x)*log(1-x^2))-x^4-1$
[size=130]
$e^(-(x-x^3/6+o(x^3))^2(-x^2-x^4/2+o(x^4)))-x^4-1$
$e^((-x^2+x^4/3+o(x^4))(-x^2-x^4/2+o(x^4)))-x^4-1$
$e^((x^4+x^6/2-x^6/3+o(x^6))-x^4-1$
$e^((x^4+x^6/6+o(x^6))-x^4-1$
[/size]
$1+x^4+x^6/6-x^4-1+o(x^6)=x^6/6+o(x^6)$
Premesso che non mi esce, chiedo una cosa.
Il termine $(1-x^2)^(sin^2x)$ si può sostituire semplicemente con $1$? O è una tamarrata? Perché non mi pare che $1^0$ sia una forma di indecisione.
p.s. la mia calcolatrice grafica però non mi dà 6, mi dà circa 3
Il termine $(1-x^2)^(sin^2x)$ si può sostituire semplicemente con $1$? O è una tamarrata? Perché non mi pare che $1^0$ sia una forma di indecisione.
p.s. la mia calcolatrice grafica però non mi dà 6, mi dà circa 3
Ma che c'è di male nello sviluppo che ho proposto io?perchè mi viene sbagliato? Non posso semplicemente scrivere
$e^(-sin^2 x\log(1-x^2))=1-sin^2 x\log(1-x^2)+1/2 \sin^4 x\log^2 (1-x^2)+o(...)$?
$e^(-sin^2 x\log(1-x^2))=1-sin^2 x\log(1-x^2)+1/2 \sin^4 x\log^2 (1-x^2)+o(...)$?
"newton_1372":
Ma che c'è di male nello sviluppo che ho proposto io?perchè mi viene sbagliato? Non posso semplicemente scrivere
$e^(-sin^2 x\log(1-x^2))=1-sin^2 x\log(1-x^2)+1/2 \sin^4 x\log^2 (1-x^2)+o(...)$?
Di male secondo me non c'è nulla per come è scritto ora, soltanto che secondo me è più intuitivo sviluppare come ho fatto prima e si rischiano meno errori...
$1-sin^2(x)log(1-x^2)+o(sin^2(x)log(1-x^2))$
$1-(x-x^3/6+o(x^3))^2*(-x^2-x^4/2+o(x^4))$
$1-(x^2-x^4/3+o(x^4))(-x^2-x^4/2+o(x^4))$
$1-(-x^4-x^6/2+x^6/3)+o(x^6)$
$1+x^4+x^6/6+o(x^6)$
N'ATTIMO, sviluppare il seno con $x+o(X)$ non basta in questo caso? Molto molto interessante...forse ho capito, si creano confusioni tremende con gli opiccoli...quando uso il limite notevole è come se approssimassi tutto al primo ordine...però non veniva una forma indeterminata, questo è strano...
Esatto il limite notevole $lim_(x->0) sin(x)/x=1$ visto con gli o-piccolo vuol dire$sin(x)=x+o(x)$.. Comunque sia, quando hai delle somme non usare gli equivalenti, ma mettici sempre gli o-piccolo, così se nello sviluppo ti rimane solo quest'ultimo capisci che devi andare all'ordine successivo
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