Limite notevole sul numero di Nepero
Com'è che si dimostra che il limite notevole $\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n = e$?
O meglio, com'è che si dimostra che $e$ deriva proprio da quel limite?
Non mi è difficile dimostrare che quel limite si muove fra 2 e 3, ma che fa proprio $e$ non so prorpio come muovermi....
Grazie!!
O meglio, com'è che si dimostra che $e$ deriva proprio da quel limite?
Non mi è difficile dimostrare che quel limite si muove fra 2 e 3, ma che fa proprio $e$ non so prorpio come muovermi....
Grazie!!
Risposte
Quel limite è la definizione di $e $ .
La successione $a_n=(1+1/n)^n $ è crescente ma limitata; quindi $lim_(n rarr oo) a_n $ esiste finito è compreso tra 2 e 3 e vale $e $ per definizione.
Se poi vuoi calcolare dei valori approssimati di $ e $ allora ci sono dei metodi per farlo.
La successione $a_n=(1+1/n)^n $ è crescente ma limitata; quindi $lim_(n rarr oo) a_n $ esiste finito è compreso tra 2 e 3 e vale $e $ per definizione.
Se poi vuoi calcolare dei valori approssimati di $ e $ allora ci sono dei metodi per farlo.
Quindi, avendo dimostrato che la successione è compresa fra 2 e 3, che è crescente e limitata, ho finito!!
Grazie mille!!
Grazie mille!!
Non è che hai solo "finito", hai ben "definito" $e$.
Esiste una dimostrazione che confronta i termini
$t_n=(1+1/n)^n$
con la serie
$s_n=\sum_(k=0)^n1/(k!)$
con $n->\infty$
$t_n=(1+1/n)^n$
con la serie
$s_n=\sum_(k=0)^n1/(k!)$
con $n->\infty$
Usando la formula del binomio di Newton:
$(1+1/n)^n=\sum_{j=0}^n((n),(j))1/n^j=\sum_{j=0}^n\frac{n!}{(n-j)!n^j} \frac{1}{j !}$
Notiamo che
$(\frac{n-j+1}{n})^j\leq\frac{n!}{(n-j)!n^j}\leq 1$
e che, per la diseguaglianza di Bernoulli
$(\frac{n-j+1}{n})^j=(1-\frac{j-1}{n})^j\geq 1-\frac{j(j-1)}{n}$
da cui
$\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}-1/n\sum_{j=2}^n\frac{1}{(j-2)!}\leq(1+1/n)^n\leq\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}$
Dato che la serie $\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}$ e' sommabile si ricava che $(1+1/n)^n$ tende alla somma di tale serie.
$(1+1/n)^n=\sum_{j=0}^n((n),(j))1/n^j=\sum_{j=0}^n\frac{n!}{(n-j)!n^j} \frac{1}{j !}$
Notiamo che
$(\frac{n-j+1}{n})^j\leq\frac{n!}{(n-j)!n^j}\leq 1$
e che, per la diseguaglianza di Bernoulli
$(\frac{n-j+1}{n})^j=(1-\frac{j-1}{n})^j\geq 1-\frac{j(j-1)}{n}$
da cui
$\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}-1/n\sum_{j=2}^n\frac{1}{(j-2)!}\leq(1+1/n)^n\leq\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}$
Dato che la serie $\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}$ e' sommabile si ricava che $(1+1/n)^n$ tende alla somma di tale serie.
La serie $ sum_(j=0)^(oo) 1/(j!) $ è di lenta convergenza.
Penso che nei calcolatorini tascabili sia implementato un algoritmo più rapido per il calcolo del numero $e $.
Qualcuno sa quale sia ?
Penso che nei calcolatorini tascabili sia implementato un algoritmo più rapido per il calcolo del numero $e $.
Qualcuno sa quale sia ?
@ViciuosGoblin:
proprio vero che non si finisce mai di imparare! Sembra incredibile pure a me, mon avevo mai visto questa stima.
@Camillo:
E se ce lo avessero già infilato a forza?
proprio vero che non si finisce mai di imparare! Sembra incredibile pure a me, mon avevo mai visto questa stima.
@Camillo:
E se ce lo avessero già infilato a forza?
"Fioravante Patrone":
@Camillo:
E se ce lo avessero già infilato a forza?
E' quello che poi ho pensato e che stavo per scrivere, ma mi hai preceduto
@Fioravante - grazie per il commento, devo confessare che me lo sono ricavato (molti anni fa) preparando delle esercitazioni - in realta' se uno si pone il
problema poi le cose vengono.
@Camillo Non sono assolutamente un esperto di questioni numeriche ma io avrei detto che la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ e' a rapidissima convergenza.
Se si usa la stima di Lagrange del resto si trova
$R_n:=e-\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}=\frac{e^{\xi} (1-0)^{n+1}}{(n+1)!}$ con $\xi=\xi_n$ compreso tra $o$ e $1$.
Sapendo che $e$ e' compreso tra $2$ e $3$ (cosa a cui si puo' arrivare anche stimando la somma della serie), si trova
$0 \leq R_n\leq\frac{3}{(n+1)!}$
e il fattoriale tende molto velocemente all'infinito.Se non sbaglio, con $n=9$, si ottiene una precisione minore di $10^{-6}$.
Oppure - se non si vuole usare Taylor - si puo' usare $\frac{1}{j!}\leq \frac{1}{2^{j-2}}$ (per $j\geq 2$) e dire
$\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}-\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}=\sum_{j=n+1}^{\infty}\frac{1}{j!}\leq\sum_{j=n+1}^{\infty}\frac{1}{2^{j-2}}=\frac{1}{2^{n-2}}$
che e' peggio di quella precedente, ma ancor piuttosto buona.
Ti pare plausibile ?
problema poi le cose vengono.
@Camillo Non sono assolutamente un esperto di questioni numeriche ma io avrei detto che la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ e' a rapidissima convergenza.
Se si usa la stima di Lagrange del resto si trova
$R_n:=e-\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}=\frac{e^{\xi} (1-0)^{n+1}}{(n+1)!}$ con $\xi=\xi_n$ compreso tra $o$ e $1$.
Sapendo che $e$ e' compreso tra $2$ e $3$ (cosa a cui si puo' arrivare anche stimando la somma della serie), si trova
$0 \leq R_n\leq\frac{3}{(n+1)!}$
e il fattoriale tende molto velocemente all'infinito.Se non sbaglio, con $n=9$, si ottiene una precisione minore di $10^{-6}$.
Oppure - se non si vuole usare Taylor - si puo' usare $\frac{1}{j!}\leq \frac{1}{2^{j-2}}$ (per $j\geq 2$) e dire
$\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}-\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}=\sum_{j=n+1}^{\infty}\frac{1}{j!}\leq\sum_{j=n+1}^{\infty}\frac{1}{2^{j-2}}=\frac{1}{2^{n-2}}$
che e' peggio di quella precedente, ma ancor piuttosto buona.
Ti pare plausibile ?
Oltre che plausibile mi sembra corretta .
Ecco una conferma in più che prima di schiacciare il tasto invia , occorre riflettere ancora un po'
Avevo in mente la serie armonica alternata $sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n-1)(1/n) $ che converge a $ ln 2 $ lentamente in quanto per commettere un errore $< 10^(-2) $ bisogna sommare almeno 99 termini !
Ecco una conferma in più che prima di schiacciare il tasto invia , occorre riflettere ancora un po'
Avevo in mente la serie armonica alternata $sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n-1)(1/n) $ che converge a $ ln 2 $ lentamente in quanto per commettere un errore $< 10^(-2) $ bisogna sommare almeno 99 termini !
In aggiunta,
$e-s_n=\sum_(k=n+1)^(\infty)1/(k!)<1/((n+1)!)\sum_(k=0)^(\infty)(1/(n+1))^k=1/(n!n)$
$e-s_n=\sum_(k=n+1)^(\infty)1/(k!)<1/((n+1)!)\sum_(k=0)^(\infty)(1/(n+1))^k=1/(n!n)$
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