Limite notevole senx/x nel caso 4° quadrante

[bravapersona1]

Ciao ragazzi guardate qui..
dopo aver dimostrato tranquillamente il limite notevole nel primo quadrante il mio Prof ha voluto farlo anche nel quarto quadrante. Vediamolo assieme..
$ -1<-(senx)/x <-cosx $
Segue
$ 0<1-(senx)/x<1- cos x=2 sen^2x/2 Nell'ultimo rigo ho portato l'1 a destra e ho usato la formula di duplicazione del coseno.
Qui il primo dubbio.
Perchè $ sen^2x/2 Poi continuando...(vi riporto ciò che ho scritto)
$ |1-(senx)/x| non appena sarà $ x^2/2 $ AA epsilon>0 $ $ EE sigma >0:|1-(senx)/x| Cosa ha fatto a partire da $ sen^2x/2

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Risposte

bravapersona1

16 lug 2016, 14:55

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@melia

16 lug 2016, 16:39

Il prof. si è perso un quadrato oppure lo hai perso tu copiando, inoltre avrei lasciato il simbolo di $=$ anche se vale solo per $0$.
Nel primo quadrante è chiaro che $sin x <=x$ perché $sin x$ è l'ordinata di un punto, mentre $x$ è l'arco, in generale $|sinx|<=|x|$ ovvero $|sin^2x|<=|x^2|$, ma nei quadrati il modulo non serve, $sin^2x<=x^2$, cioè il quadrato del seno è minore uguale al quadrato dell'arco corrispondente
$2 *sen^2 x/2< =2*(x/2)^2 $ che diventa $2sen^2 x/2<= x^2/2 $

Andando avanti per dimostrare il limite devi ottenere da $ |1-(senx)/x|0$, $ AA epsilon>0 $ puoi trovare un valore di $x$ tale che $ x^2/2 $ AA epsilon>0 \ \ EE sigma >0:|1-(senx)/x|

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bravapersona1

17 lug 2016, 09:53

Mi scuso col forum per aver uppato ma andavo di fretta ahah e soprattutto ti ringrazio molto, sei stata chiarissima.

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anto_zoolander

17 lug 2016, 11:21

@melia

Ma non sarebbe stato sufficiente considerare che $sinx,tanx$ sono negativi nel quarto quadrante e che l'angolo misurato in radianti lo si può esprimere come negativo, pensando di percorrere la circonferenza al contrario e quindi notare che vale sempre la disuguaglianza?

[size=150]

$sinxleqxleqtanx$

[/size]

Che è la medesima disequazione che si utilizza nel primo quadrante.

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@melia

17 lug 2016, 11:29

Stai attento, quello che hai scritto vale solo in modulo. Se i termini sono negativi devi cambiare il verso delle disuguaglianze.

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anto_zoolander

17 lug 2016, 11:41

Ho sbagliato a scrivere *geq anziché *leq volevo dire

[size=150]$sinxgeqxgeqtanx$[/size]

Che è quanto hai fatto notare.

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[@melia]

Il prof. si è perso un quadrato oppure lo hai perso tu copiando, inoltre avrei lasciato il simbolo di $=$ anche se vale solo per $0$.
Nel primo quadrante è chiaro che $sin x <=x$ perché $sin x$ è l'ordinata di un punto, mentre $x$ è l'arco, in generale $|sinx|<=|x|$ ovvero $|sin^2x|<=|x^2|$, ma nei quadrati il modulo non serve, $sin^2x<=x^2$, cioè il quadrato del seno è minore uguale al quadrato dell'arco corrispondente
$2 *sen^2 x/2< =2*(x/2)^2 $ che diventa $2sen^2 x/2<= x^2/2 $

Andando avanti per dimostrare il limite devi ottenere da $ |1-(senx)/x|0$, $ AA epsilon>0 $ puoi trovare un valore di $x$ tale che $ x^2/2 $ AA epsilon>0 \ \ EE sigma >0:|1-(senx)/x|

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Mi scuso col forum per aver uppato ma andavo di fretta ahah e soprattutto ti ringrazio molto, sei stata chiarissima.

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@melia

Ma non sarebbe stato sufficiente considerare che $sinx,tanx$ sono negativi nel quarto quadrante e che l'angolo misurato in radianti lo si può esprimere come negativo, pensando di percorrere la circonferenza al contrario e quindi notare che vale sempre la disuguaglianza?

[size=150]

$sinxleqxleqtanx$

[/size]

Che è la medesima disequazione che si utilizza nel primo quadrante.

[@melia]

Stai attento, quello che hai scritto vale solo in modulo. Se i termini sono negativi devi cambiare il verso delle disuguaglianze.

[anto_zoolander]

Ho sbagliato a scrivere *geq anziché *leq volevo dire

[size=150]$sinxgeqxgeqtanx$[/size]

Che è quanto hai fatto notare.