Limite notevole Nepero

[franchinho]

Ho questo limite: $lim_(x ->0 )(1+x^2)^((1)/(xlog(1+x)$ e io lo riconduco a questo Nepero: $lim_(x ->x_0 )(1+f(x))^(1/f(x))=e$, con $f(x)->0$ e forma indeterminata $1^infty$. Lo imposto così: $lim_(x ->0 )((1+x^2)^(1/x^2))^((x^2)/(xlog(1+x))$. la prima parentesi fa $e$, l'esponente: $(x^2)/(xlog(1+x))$ mi viene sostituendo a $log(1+x)$ $x$, $lim_(x ->x_0 )(x^2)/(x^2)$ che non riesco a sbloccare con de hopital. Il limite deve risultare $e$ e quindi il limite dell'espressione che ho all'esponente deve venire $1$.

[Shocker1]

"Francobati":Ho questo limite: $lim_(x ->0 )(1+x^2)^((1)/(xlog(1+x)$ e io lo riconduco a questo Nepero: $lim_(x ->x_0 )(1+f(x))^(1/f(x))=e$, con $f(x)->0$ e forma indeterminata $1^infty$. Lo imposto così: $lim_(x ->0 )((1+x^2)^(1/x^2))^((x^2)/(xlog(1+x))$. la prima parentesi fa $e$, l'esponente: $(x^2)/(xlog(1+x))$

$lim_{x->0} (x^2)/(xlog(1+x))$ è un limite notevole:

$(x^2)/(xlog(1+x)) = x/log(1+x) = 1$ per $x->0$


Ciao

[franchinho]

Ma non lo trovo in questa forma in tabella. In tabella c'è questo simile: $lim_(x -> 0)(ln(1+x))/x=1$

[Frink1]

Scusa ma se arrivi ad una forma $ (x^2)/(x^2) $, perché non semplifichi? Fa 1 per qualsiasi $ x $, che sia tendente a 0 o a infinito...

Nota bene che il suggerimento precedente ti dice esattamente lo stesso: il limite che hai in tabella è l'inverso di quello che hai qui...

[franchinho]

Mi dispiace ma continuo a non capire, purtroppo non sono matematico. Perché dovrei interpretare due espressioni reciproche come equivalenti?

[Shocker1]

"Francobati":Mi dispiace ma continuo a non capire, purtroppo non sono matematico. Perché dovrei interpretare due espressioni reciproche come equivalenti?

Ciao, tranquillo

Esiste un bel teorema che dice che se:

$lim_{x->x_0} f(x) = l !=0$, cioè se esiste e finito il limite $l$ di $f(x)$ per $x->x_0$ e tale limite è diverso da $0$, allora il limite del reciproco è uguale al reciproco del limite, cioè:

$lim_{x->x_0} 1/f(x) = 1/l$

Passando alla pratica:
$lim_{x->0} log(1 + x)/x = 1 !=0$ , quindi $lim_{x->0} x/log(1+x) = 1/1 = 1$

Un altro esempio è questo:

$lim_{x->0} (1-cos(x))/x^2 = 1/2 != 0$, quindi $lim_{x->0} x^2/(1-cos(x)) = 2$


Chiaro adesso?

[franchinho]

Ok grazie mille. Quindi tutti i limiti che ho in tabella con risultato diverso da $0$ sono equivalenti ai loro reciproci. Aiutami a capire quest'altro: $lim_(x -> +infty)((x)/(x-1))^(sqrt(x)$. Io lo riconduco a questo Nepero: $lim_(x -> x_0)(1+(k/f(x)))^f(x)=e^k$, con $f(x)rarrinfty$, F.I. $1^infty$, in questo modo: faccio una manipolazione: $(1+(x)/(x-1)-1)^(sqrt(x))=(1+((1)/(x-1)))^(sqrt(x))$, e scrivo questo limite: $lim_(x -> +infty)((1+(1/(x-1)))^(x-1))^(sqrt(x)/(x-1))$. La prima espressione è il limite notevole, che fa: $e^1=e$. Rimane poi l'esponente, cioè: $lim_(x -> +infty)(sqrt(x)/(x-1))$ che mi restituisce la forma indeterminata $(+infty)/(+infty)$, e questo non riesco a farlo perché non so come funziona la graduatoria dei limiti in questo caso, cioè chi vince fra numeratore e denominatore. Quest'ultimo limite dev'essere $0$, e quindi per venire $0$ significa che vince il denominatore, cioè avrei: $n/(+infty)=0$. E quindi chiedo: la radice perde sempre rispetto alla $x$? Anche nel caso in cui la $x$ dentro la radice fosse elevata alla sesta per esempio?

[Frink1]

La radice perde sempre rispetto alla $ x $ non vuol dire nulla. La radice puoi trasformarla in un esponente:
$ root(2)(x^6)=x^(6/2)=x^3 $
Perciò la radice quadrata di $ x^6 $ è certamente più forte di $ x $ stesso per $ x->oo $

Trasformando anche le radici in esponenti potrai sommarli e sottrarli, giungendo più facilmente a capire quale vinca tra due