Limite notevole ignoto
Salve a tutti premetto che sono nuovo di questo forum quindi chiedo scusa in anticipo per eventuali disturbi che posso creare non conoscendo le regole del forum...
Avevo bisogno di un aiutino di analisi nello svolgere questo limite:
$ lim_(x -> +oo )x^3(arctan(1/x) -1/x)log (1-sqrt(1/x) ) $
sviluppando arctan(1/x) in polinomio di mac laurin si risolve facilmente, mentre sfogliando sul web tra i tanti limiti noti ho trovato questo
$ lim_(x -> 0 ) (x-arctan(x )) / x^(3)=1/3 $
che applicato alla mia situazione rende il risultato estremamente semplice poiché $ log (1-sqrt(1/x) ) $ tende a zero per x che tende a infinito...
Ora il mio problema è: qualcuno saprebbe darmi una dimostrazione o quanto meno una spiegazione di questo limite notevole? non essendo uno di quei limiti che si ricordano a memoria dovrei dare una spiegazione nell averlo utilizzato!
Grazie in anticipo per coloro che troveranno il tempo di aiutarmi
Avevo bisogno di un aiutino di analisi nello svolgere questo limite:
$ lim_(x -> +oo )x^3(arctan(1/x) -1/x)log (1-sqrt(1/x) ) $
sviluppando arctan(1/x) in polinomio di mac laurin si risolve facilmente, mentre sfogliando sul web tra i tanti limiti noti ho trovato questo
$ lim_(x -> 0 ) (x-arctan(x )) / x^(3)=1/3 $
che applicato alla mia situazione rende il risultato estremamente semplice poiché $ log (1-sqrt(1/x) ) $ tende a zero per x che tende a infinito...
Ora il mio problema è: qualcuno saprebbe darmi una dimostrazione o quanto meno una spiegazione di questo limite notevole? non essendo uno di quei limiti che si ricordano a memoria dovrei dare una spiegazione nell averlo utilizzato!
Grazie in anticipo per coloro che troveranno il tempo di aiutarmi
Risposte
mi sono dimenticato di aggiungere che il limite notevole è sicuramente corretto xk plottandolo è evidente. inoltre non vi ho messo lo sviluppo in serie
$ arctan(1/x ) =1/x-1/(3x^3) $ e sostituendolo nel limite otteniamo
$ lim_(x -> +oo ) x^3 (1/x - 1/(3x^3) -1/x)log(1+ sqrt(1/x) ) = lim_(x -> +oo ) -1/3 log(1+ sqrt(1/x) )=-1/3*0=0 $
$ arctan(1/x ) =1/x-1/(3x^3) $ e sostituendolo nel limite otteniamo
$ lim_(x -> +oo ) x^3 (1/x - 1/(3x^3) -1/x)log(1+ sqrt(1/x) ) = lim_(x -> +oo ) -1/3 log(1+ sqrt(1/x) )=-1/3*0=0 $
"roby92100":
$ lim_(x -> 0 ) (x-arctan(x )) / x^(3)=1/3 $
...qualcuno saprebbe darmi una dimostrazione o quanto meno una spiegazione di questo limite notevole?
ciao e benvenuto nel forum.
non lo ricordavo come limite notevole.
puoi verificarne l'esattezza così:
$arctg(x)~ x-x^3/3$ per $x -> 0$
sostituisci nel tuo limite e trovi il risultato.
"piero_":
[quote="roby92100"] $ lim_(x -> 0 ) (x-arctan(x )) / x^(3)=1/3 $
...qualcuno saprebbe darmi una dimostrazione o quanto meno una spiegazione di questo limite notevole?
ciao e benvenuto nel forum.
non lo ricordavo come limite notevole.
puoi verificarne l'esattezza così:
$arctg(x)~ x-x^3/3$ per $x -> 0$
sostituisci nel tuo limite e trovi il risultato.[/quote]
grazie x l'aiuto piero...scusami ma tra arctan(x) e x-x^3/3 non spunta alcun simbolo...vorresti dire semplicemente sono asintotici?
"roby92100":
non spunta alcun simbolo
veramente ci ho messo una tilde...forse i font non sono visualizzati correttamente.
"roby92100":
vorresti dire semplicemente sono asintotici?
Sono asintotici, per $x->0$.
"piero_":
[quote="roby92100"]non spunta alcun
veramente ci ho messo una tilde...forse i font non sono visualizzati correttamente.
"roby92100":
vorresti dire semplicemente sono asintotici?
Sono asintotici, per $x->0$.[/quote]
si fondamentalmente l'unica dimostrazione di questo limite notevole può essere questa che era anke l'unica dimostrazione per quel limite che dovevo svolgere quindi in ogni caso si svolgeva con mac laurin
"piero_":
[quote="roby92100"]non spunta alcun
veramente ci ho messo una tilde...forse i font non sono visualizzati correttamente.
"roby92100":
vorresti dire semplicemente sono asintotici?
Sono asintotici, per $x->0$.[/quote]
si fondamentalmente l'unica dimostrazione di questo limite notevole può essere questa che era anke l'unica dimostrazione per quel limite che dovevo svolgere quindi in ogni caso si svolgeva con mac laurin
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