Limite notevole e uso Sviluppo in serie di taylor.

[silverlight888]

Salve a tutti, vi espongo il mio problema. Ho la seguente equazione $y=((1+x)exp(A/(1+x))-x)^-1$ devo farne il limite per $x$ che tende a $+\infty $. Viene fuori una forma indeterminata del tipo $+\infty -\infty $. Il mio professore dice che devo sviluppare in serie di taylor, nell'intorno $xo=infty$. il termine esponenziale, dunque $exp(A/(1+x))$. A questo punto sorge il mio problema. Sviluppando e troncando al primo grado ottengo: $exp(A/(1+xo))-((Aexp(A/(1+xo)))/(1+xo)^2)*(x-xo)$ Sapendo che $xo=infty$. A questo punto mi blocco. Sostituisco $xo=infty$ e ottengo $1+A*(-infty/infty^2)$, un'altra forma indeterminata. Non so come procedere, chiedo il vostro aiuto.

[marcorossi94]

$e^{A/(1+x)}=frac{A}{1+x}+o(1/x)$
Quindi
$(1+x)*(frac{A}{1+x}+o(1/x))-x=-x+A+o(1)$

[silverlight888]

il risultato deve essere 1+A

[francicko]

Beh veramente, $e^(A/(1+x))=1+A/(1+x)+o (1/x)$

[silverlight888]

"francicko":Beh veramente, $e^(A/(1+x))=1+A/(1+x)+o (1/x)$

non mi sono chiari i passaggi che portano a questo risultato...qualcosa mi sfugge nel momento in cui sostituisco $xo=infty$...ad occhio a me darebbe come risultato $1$...parlo del termine sviluppato naturalmente
$exp(A/(1+xo))-(Aexp(A/(1+xo)))*(x-xo)/(1+xo)^2)$
Il termine che mi da problemi in particolare è questo $((x-xo)/(1+xo)^2)$, dove se sostituisco $Xo=infty$ risulta $((x-infty)/(1+infty)^2)=0$, risultato evidentemente sbagliato

[pilloeffe]

Ciao silverlight888,

Il limite proposto è il seguente:

$\lim_{x \to +\infty} [(1+x)exp(A/(1+x))-x]^{-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{(1+x)exp(A/(1+x))-x} $

Applicando lo sviluppo in serie citato da francicko e trascurando gli $o $ si ha:

$\lim_{x \to +\infty} [(1+x)exp(A/(1+x))-x]^{-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{(1+x)exp(A/(1+x))-x} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{(1+x)(1+A/(1+x))-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+ x + A - x} = \frac{1}{1 + A} $

[silverlight888]

Il mio problema è capire come si passa da $exp(A/(1+x))$ a $(1+a/(1+x))$

[pilloeffe]

Beh, come dovrebbe esserti noto si ha:

$ e^t = sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!} = 1 + t + o(t) \qquad \AA t \in \RR $

Ponendo $t := \frac{A}{1 + x} $ si ha proprio quanto scritto nel mio post precedente.

[silverlight888]

ok grazie