Limite notevole della funzione $senx /x$

[turtle87crociato]

Sarà banale, ma non riesco a capire perchè, nella dimostrazione del limite fondamentale $lim_(x->0)(senx)/x = 1$, si usa la doppia diseguaglianza

$sen x < x < tgx$, cioè non riesco a capire come si faccia a dimostrare che $tgx>x$, per ogni $x != \pi/2$ o $x != -\pi/2$?

[pic2]

Direi $x

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[adaBTTLS1]

è un'impostazione di tipo geometrico (fatta nel primo quadrante, ed estesa al quarto quadrante cambiando i segni, in modulo): dovresti considerare la tangente geometrica alla circonferenza goniometrica nell'origine degli archi A (quella dove "trovi" la tangente goniometrica), e un arco x del primo quadrante. se P è il secondo estremo dell'arco, traccia la semiretta OP, che interseca la retta tangente nel punto T, traccia anche la retta parallela all'asse Y che passa per P e chiama H la proiezione di P sull'asse X. in questo modo PH=senx, TA=tgx, e x è la misura dell'arco in radianti ed è anche la lunghezza dell'arco stesso perché la circonferenza ha raggio unitario. allora il settore circolare, delimitato da OA, OP e dall'arco x, contiene il triangolo OAP ed è contenuto nel triangolo OAT.
l'area do OAP è 1/2*OA*PH=1/2senx, l'area del settore circolare è 1/2*r*x=1/2x, l'area del triangolo OAT è 1/2*OA*TA=1/2tgx, da cui la diseguaglianza richiesta senx0.
spero sia chiaro. ciao.

[pic2]

Speriamo solo che non venga fuori la domanda "perché l'area di un settore circolare si calcola così"?


Spero anche che nessuno ritenga questo post offensivo; il mio intervento era atto a sottolineare che l'introduzione della misura in radianti non è rigorosa (sebbene aiuti tutti a capire meglio)