Limite notevole

[Marshal87]

Ciao a tutti,
Volevo sapere, se $lim_{x->oo} x^7/7^x = 0$ perchè è un limite notevole.
Perchè $lim_{x->-oo} x^7/7^x = -oo$ ???
Scusate se la domanda vi sembrerà banale ma per me è la prima volta che studio questi sconosciuti

[in_me_i_trust]

Per il primo si spiega così: $7^(x)$ è un esponenziale mentre $x^(7)$ è un monomio, ora se provi a sostituire qualche valore ti accorgi che se prendi $x>1$ piccoli tipo $x=2$ hai che $x^(7)>7^(x)$ ma se cominci a sostituire x un po' più grandi $7^(x)$ diventa enormemente più grande all'aumentare della $x$. Quindi il rapporto $\frac(x^(7))(7^(x))$ diventa sempre più piccolo al crescere della $x$ finchè non diventa $0$.

ATTENZIONE

Questo ragionamento è valido per qualunque frazione del tipo $\frac(x^(\alpha))(\beta^(x))$, con $\beta>1$. Anche se $\alpha$ è molto grande tipo 1000 o 1000000 non cambia niente, al tendere di $x$ all' infinito il denominatore diventerà sempre molto più grande del numeratore fino ad annullare la frazione.

Per il secondo riscriviamolo così

$\lim_(x->-\infty)x^(7) 7^(-x)$

Allora quando $x$ tende ad un valore grande negativo, $7^(-x)$ tenderà ad un valore grande positivo, esempio $x=-100\Rightarrow 7^(-(-100))=7^(100)$ quindi $7^(-x)$ tenderà a $+\infty$ ma $x^(7)$ invece tenderà ad un numero grande negativo infatti se prendi $x=-100$ viene $(-100)^(7)=-100*-100*-100*-100*-100*-100*-100=-10^(14)$ in definitiva il limite viene un prodotto di $-\infty*+\infty$ che fà $-\infty$

ATTENZIONE

Se l'esponente della $x$ era pari ($2,4,6,...$) il prodotto veniva $+\infty*+\infty=+\infty$

[Marshal87]

Ok grazie mille sei stato chiarissimo