Limite notevole
Salve a tutti,
vorrei chiedervi la dimostrazione di un limite notevole che non riesco a dedurre: lim logx/x per x tendente ad infinito.
P.S complimenti agli amministratori, il sito è ben strutturato,variegato, insomma da starci ore....
Vorrei comunque segnalare nella sezione dedicata ai limiti notevoli il limite N.17, errato, sicuramente nella trascrizione.
vorrei chiedervi la dimostrazione di un limite notevole che non riesco a dedurre: lim logx/x per x tendente ad infinito.
P.S complimenti agli amministratori, il sito è ben strutturato,variegato, insomma da starci ore....
Vorrei comunque segnalare nella sezione dedicata ai limiti notevoli il limite N.17, errato, sicuramente nella trascrizione.
Risposte
Correggetemi se sbaglio ^_^
Se hai limite per x che tende ad infinito (non so come si fa con MathML ^_^) di $log x / x $ hai una situazione di infinito su infinito.
Se però applichi il teorema di De L'Hospital, ti risulta che il limite di $f(x)/g(x)$ è uguale al limite del quoziente delle derivate di f(x) e g(x), quindi $(f'(x))/(g'(x))$ (sempre per x che tende ad infinito)
Essendo la derivata di log x > $1/x$ e la derivata di x > 1, $log x / x$ diventa $1/x$, quindi il limite per x che tende ad infinito di 1/x è zero ^_^
Spero di essere stato chiaro
Se hai limite per x che tende ad infinito (non so come si fa con MathML ^_^) di $log x / x $ hai una situazione di infinito su infinito.
Se però applichi il teorema di De L'Hospital, ti risulta che il limite di $f(x)/g(x)$ è uguale al limite del quoziente delle derivate di f(x) e g(x), quindi $(f'(x))/(g'(x))$ (sempre per x che tende ad infinito)
Essendo la derivata di log x > $1/x$ e la derivata di x > 1, $log x / x$ diventa $1/x$, quindi il limite per x che tende ad infinito di 1/x è zero ^_^
Spero di essere stato chiaro
In realtà non è corretto dire che il limite
di $(f(x))/(g(x))$ è uguale a quello di $(f'(x))/(g'(x))$;
questo si può dire solo a posteriori.
Posto che la forma indeterminata sia del tipo
zero su zero o infinito su infinito (infatti, solo
in questi due casi particolari è possibile applicare
il teorema di De L'Hopital), il teorema dice che
SE ESISTE il limite $k$ (eventualmente anche $k=+-oo$)
del rapporto delle derivate,
ALLORA esiste il limite del rapporto di $(f(x))/(g(x))$
e questo è uguale a $k$.
Classico esempio: $(x+sinx)/x$. E' una forma
infinito su infinito per $x->+oo$, applico De L'Hopital
e mi trovo di fronte il limite di $1+cosx$, che NON ESISTE
e non si può quindi concludere niente!
di $(f(x))/(g(x))$ è uguale a quello di $(f'(x))/(g'(x))$;
questo si può dire solo a posteriori.
Posto che la forma indeterminata sia del tipo
zero su zero o infinito su infinito (infatti, solo
in questi due casi particolari è possibile applicare
il teorema di De L'Hopital), il teorema dice che
SE ESISTE il limite $k$ (eventualmente anche $k=+-oo$)
del rapporto delle derivate,
ALLORA esiste il limite del rapporto di $(f(x))/(g(x))$
e questo è uguale a $k$.
Classico esempio: $(x+sinx)/x$. E' una forma
infinito su infinito per $x->+oo$, applico De L'Hopital
e mi trovo di fronte il limite di $1+cosx$, che NON ESISTE
e non si può quindi concludere niente!
In realtà il Teorema di de l'Hopital è più generale, si applica anche alla forma $?/\infty$, dunque basta che il denominatore sia un infinito.
Puoi dimostrare il limite più generale:
$lim_{x \rightarrow +\infty} \logx/{x^\alpha}=0, \alpha>0$
basta infatti eseguire la sostituzione $y=\log x$ e sfruttare il limite notevole:
$lim_{x \rightarrow +\infty} {x^b}/{a^x}=0, (a>1,b>0)$
$lim_{x \rightarrow +\infty} \logx/{x^\alpha}=0, \alpha>0$
basta infatti eseguire la sostituzione $y=\log x$ e sfruttare il limite notevole:
$lim_{x \rightarrow +\infty} {x^b}/{a^x}=0, (a>1,b>0)$
nn mi sembra molto difficile questo limite. sappiamo che $x$ tende a infinito piu velocemente di$log(x)$. quindi intuitivamente il limite tende a 0.
p.s. se tracci i grafici di $x$ e $log(x)$ si vede subito chi va a infinito piu velocemente.
p.s. se tracci i grafici di $x$ e $log(x)$ si vede subito chi va a infinito piu velocemente.
Beh, il fatto che sappiamo che $x$ tende all'infinito più velocemente di $log x$ è proprio dovuto al fatto che sappiamo che quel limite è $0$. Ti stai un po' mordendo la coda, e comunque un limite può essere intuitivo quanto vuoi, e visibile graficamente, ma va pur sempre dimostrato il risultato corretto.
Un metodo a mio parere molto efficace per dimostrare
la non esistenza e l'esistenza dei limiti notevoli di questo
tipo è fornito dal Teorema "ponte"...
la non esistenza e l'esistenza dei limiti notevoli di questo
tipo è fornito dal Teorema "ponte"...
Con il mio intervento facevo presente che per dimostrare che $lim_{x -> oo} log x/x^{ alpha}=0, alpha>0,$ si fa uso dell'altro limite notevole, la cui dimostrazione si trova in tutti i libri di analisi...
Infatti Celine, hai ragione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo