Limite notevole
Buongiorno,
in un esempio si dice che il limite per x che tende a 0 di $ e^x - (1 + x) $ e' uguale ad $ 1/2x^2 $. Nello stesso esempio si dice che anche il limite per x che tende a 0 di $ e^-x -1 +x $ tende a $ 1/2x^2 $. Ma essendo il segno dell'esponente diverso non dovrebbe essere diverso il limite?
Grazie
in un esempio si dice che il limite per x che tende a 0 di $ e^x - (1 + x) $ e' uguale ad $ 1/2x^2 $. Nello stesso esempio si dice che anche il limite per x che tende a 0 di $ e^-x -1 +x $ tende a $ 1/2x^2 $. Ma essendo il segno dell'esponente diverso non dovrebbe essere diverso il limite?
Grazie
Risposte
Ma sei sicuro di quello che hai scritto? Perché quei due limiti valgono zero (peraltro le due funzioni sono simmetriche ...)
Forse mi sono espresso male: si dice che le funzione sono entrambe asintotiche a 1/2 x^2 per x che tende a 0.
Per $x$ che tende a zero quelle due funzioni vanno a zero ... provare per credere (e magari disegna pure il grafico ...)
Sono totalmente d'accordo con te. Ma penso l'esempio si riferisca sul come vanno a 0 (cioe' con che rapidita'). Ora ho letto per sicurezza di nuovo gli appunti miei e di altri amici e non ho fatto errori di trascrizioni. Non capisco come mai le due funzioni sopra $ e^x - 1 - x $ e $ e^-x - 1 + x $ vadano a zero entrambe come $ 1/2 x^2 $. Forse mi sono spiegato male io precedentemente. Se cosi' chiedo scusa. Ma il dubbio rimane e non c'e' errore di trascrizione.
Grazie ancora
Grazie ancora
Scusa, potresti scrivere l'esempio per intero così capiamo meglio di cosa stiamo parlando?
Ma certo.
Calcolare il limite per x che tende a 0+ di: $ coshx - 1 $.
Ora il professore comincia dicendo che il $ coshx $ e' uguale a $ (e^x + e^-x)/2 $.
Quindi, ricordando che $ e^x - (1+x) $ e' asintotico a $ 1/2 x^2 $, continua dicendo che:
$ coshx - 1 = (e^x - (1+x) + e^-x - 1 + x )/2 $. Detto questo e viste le premesse conclude che: $ e^x - (1+x) $ lo posso trattare come $ 1/2 x^2 $, $ e^-x - 1 + x $ lo posso trattare come $ 1/2 x^2 $ e che quindi l'espressione diventa: $ (1/2 x^2 + 1/2 x^2)/2 $ = $ 1/2 x^2 $.
Non capisco pero' come sia $ e^x - (1+x) $ sia $ e^-x - 1 + x $ siano entrambe asintotiche a $ 1/2 x^2 $.
Calcolare il limite per x che tende a 0+ di: $ coshx - 1 $.
Ora il professore comincia dicendo che il $ coshx $ e' uguale a $ (e^x + e^-x)/2 $.
Quindi, ricordando che $ e^x - (1+x) $ e' asintotico a $ 1/2 x^2 $, continua dicendo che:
$ coshx - 1 = (e^x - (1+x) + e^-x - 1 + x )/2 $. Detto questo e viste le premesse conclude che: $ e^x - (1+x) $ lo posso trattare come $ 1/2 x^2 $, $ e^-x - 1 + x $ lo posso trattare come $ 1/2 x^2 $ e che quindi l'espressione diventa: $ (1/2 x^2 + 1/2 x^2)/2 $ = $ 1/2 x^2 $.
Non capisco pero' come sia $ e^x - (1+x) $ sia $ e^-x - 1 + x $ siano entrambe asintotiche a $ 1/2 x^2 $.
Premesso che quando si parla di asintoticità occorre specificare "dove", allora in questo caso quelle funzioni sono asintotiche a mille altre (per esempio $x^2/4$).
Penso che quell'espediente gli serva per qualcos'altro, non per calcolare il limite che è immediato senza necessità alcuna di artifizi vari ...
Penso che quell'espediente gli serva per qualcos'altro, non per calcolare il limite che è immediato senza necessità alcuna di artifizi vari ...
Grazie molte
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