Limite nella ricerca di asintoti ($+oo-oo$)

[marione111]

Ho risolto questo limite ma mi sembra in maniera troppo macchinosa, ho come l'impressione che ci sia una strada più facile.

$lim_(x->+oo) (x^2 + 9)/root(2) (x^2 - 9) - x =$

$lim_(x->+oo) (x^2 + 9 -x(root(2) (x^2 - 9)) )/root(2) (x^2 - 9) =$

$lim_(x->+oo) ((x^2)(1- root(2)(1 - 9/x^2) +9/x^2))/(x root(2)(1 - 9/x^2)) =$

$lim_(x->+oo) (x)(-(root(2) (9/x^2) -1)/(-9/x^2) (-9/x^2) +9/x^2)/( root(2)(1 - 9/x^2)) =$

$lim_(x->+oo) (9/x + 9/x)/( root(2)(1 - 9/x^2)) = 0$

Suggerimenti?

PS: ancora non conosco de l'hopital

[Raam]

Ciao.

Su per giù, i "trucchetti" sono quelli, quindi tanto varrebbe che ci giocassi ancora tu stesso con la funzione.
Salvo errori, questo potrebbe essere un modo:

$ lim_(x->+oo) (x^2 + 9 -x(root(2) (x^2 - 9)) )/root(2) (x^2 - 9) $

moltiplico sopra e sotto per la radice:

$ lim_(x->+oo) ((x^2 + 9) root(2) (x^2 - 9) -x(x^2 - 9) )/(x^2 - 9) $

e faccio diventare il tutto così:

$ lim_(x->+oo) (x^3 root()(1-9/x^2) +9x root()(1-9/x^2)-x^3+9x)/(x^2(1-9/x^2))$


A questo punto si potrebbe già trascurare quel fattore al denominatore facendone il limite (per il toerema sulle operazioni sui limiti):

$ lim_(x->+oo) ((9x (root()(1-9/x^2)+1))/x^2 + (x^3 (root()(1-9/x^2) -1))/x^2)$

Il primo termine è ovvio. Il secondo quasi.

[marione111]

Ciao . Grazie per la risposta. In realtà conoscevo anche quest'altro trucchetto che mi hai suggerito, ma speravo ce ne fosse un terzo, perché con la radice quadrata è più veloce dell'altro, ma già con la radice cubica devo fare più operazioni. Oh per carità, roba da niente... però solitamente preferisco adottare la soluzione con meno passaggi, perché sono solito fare errori del tipo che tralascio un segno, o da un rigo all'altro non ricopio un termine, quindi più passaggi ci sono più rischio di essere impreciso. In effetti in questi casi la razionalizzazione dovrebbe comunque essere la strada più veloce (e sicura).

Grazie!