Limite nella forma 0/0

[Sk_Anonymous]

$lim_(x->0)(1+6x-sqrt((1+4x)^3))/(2x*(sinx))=lim_(x->0)(1+6x-(1+4x)^(3/2))/(2x^2+o(x))=lim_(x->0)(1+6x-(1+6x+o(x)))/(2x^2)$
Anche applicando limiti notevoli, arrivo sempre a $[0/0]$.
Penso che dovrei semplificare qualcosa, ma come ? Mi date una mano?

[leokard]

Applicando due volte de l'hopital arrivi alla soluzione.

[ciampax]

"sleax":$lim_(x->0)(1+6x-sqrt((1+4x)^3))/(2x*(sinx))=lim_(x->0)(1+6x-(1+4x)^(3/2))/(2x^2+o(x))=lim_(x->0)(1+6x-(1+6x+o(x)))/(2x^2)$
Anche applicando limiti notevoli, arrivo sempre a $[0/0]$.
Penso che dovrei semplificare qualcosa, ma come ? Mi date una mano?

Il problema è che fermi troppo presto l'approssimazione, bloccandoti al semplice confronto locale. Qui va usato lo sviluppo di Taylor. Lo conosci?

[Sk_Anonymous]

Si. Quindi devo fare lo sviluppo di Taylor? Non è più facile con L'Hopital?

[ciampax]

Dipende: io preferisco usare Taylor, a causa delle troppe ipotesi richieste da de l'Hopital. Poi vedi tu.

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Dipende: io preferisco usare Taylor, a causa delle troppe ipotesi richieste da de l'Hopital. Poi vedi tu.

Va bene, ho provato con Taylor e mi viene. Ho approssimato al secondo ordine..in genere come faccio a capire qual'è l'ordine giusto di approssimazione locale?

[ciampax]

Esperienza: non c'è un modo giusto. Quello che si può cercare di fare è sviluppare prima il termine più semplice, tra numeratore e denominatore, e regolarsi di conseguenza per l'altro. Ad esempio, in questo caso il denominatore risulta $2x^2+o(x^2)$, per cui al più si può arrivare all'ordine 3 del numeratore.