Limite nel senso delle distribuzioni

[Spaghetto1]

Buongiorno a tutti,
vorrei proporvi questo esercizio su cui ho qualche dubbio:

Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni di:
$\lim_{n \to \infty}{u(t)- u(t-2n)}$

Applicando la definizione ho che:

$\lim_n \to \infty = lim_{n \to \infty} - lim_{n \to \infty}$

Ora il secondo limite per $n \to \infty$ tende a $\0$ perchè $\varphi$ è a supporto compatto.
Ma nel primo limite, $\u(t)$ non varia al variar di $\n$, quindi mi verrebbe da dire che il valore di tale limite sia $\u(t)* Supp varphi$ e quindi $\1* Supp varphi$

E' un ragionamento corretto???
Ovviamente affinchè tutto ciò sia valido devo dimostrare che sia valido il passaggio del limite sotto il segno di integrale...
Un grazie in anticipo a chi mi aiuterà!

[_prime_number]

Chi sarebbe $u$? Perché se ad esempio $u=\delta$, non è vero che $\lim_n $ fa $0$ bensì è paria $\varphi(0)$.

Paola

[Spaghetto1]

Ehm scusate, per $\u(t)$ intendo la Funzione di Heaviside.

[_prime_number]

Lo statement resta non vero, dipende da $\varphi$. Se infatti supp$(\varphi) \cap\{ x: x>0\}\ne 0$, allora $$ potrebbe non essere nullo. Perché non inizi provando a farti un disegno della differenza $u(t)-u(t-2n)$? Com'è fatta questa distribuzione?

Paola

[Spaghetto1]

Possiamo considerarla come $\chi_ [[0; 2n]] $, giusto?

[_prime_number]

Esatto... quindi ora ragiona sui supporti delle $\varphi$ come ho fatto sopra per concludere.

Paola

[robbstark1]

Scusate l'introduzione, ma sono alle prese con argomenti simili, quindi voglio provare a intervenire:

"Spaghetto":
Applicando la definizione ho che:

$\lim_n \to \infty = lim_{n \to \infty} - lim_{n \to \infty}$

Ora il secondo limite per $n \to \infty$ tende a $\0$ perchè $\varphi$ è a supporto compatto.

Questo non basta per dedurre che il limite distribuzionale è $u$, indipendemente da chi essa sia?

Nel caso della funzione di Heaviside, pensando ai grafici, mi sembra che il risultato sia confermato.

[_prime_number]

Sì ma se vuoi fare un po' tutti i passaggi secondo me devi procedere dicendo: fissata $\varphi$ liscia a supporto compatto, visto che $U_n(t):=u(t)-u(t-2n)=\chi_{[0,2n]}(t)$, per la compattezza del supporto esiste $n$ grande abbastanza tale per cui $$ $=\int_{t> 0} \varphi (t) dt$. Ma questa è proprio la definizione di distribuzione di Heaviside, quindi si può concludere che $\lim_n U_n = u$ nel senso delle distribuzioni.

Paola

[robbstark1]

Ok. Tra l'altro mi sembra di avere detto una stupidaggine:

"robbstark":

$\lim_n \to \infty = lim_{n \to \infty} - lim_{n \to \infty}$

Ora il secondo limite per $n \to \infty$ tende a $\0$ perchè $\varphi$ è a supporto compatto.

Questo non basta per dedurre che il limite distribuzionale è $u$, indipendemente da chi essa sia?

Quanto detto da me dovrebbe valere se $lim_{x -> - infty} u(x) = 0$, ma non in generale; per esempio non è vero per una funzione costantemente uguale a 1.