Limite nel senso delle distribuzioni

[pater46]

Ragazzi, vi propongo questo esercizio:

Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni di:
[tex]\delta - u(t-n) - \delta_n[/tex]

Calcolando il limite dei singoli addendi, avrei:

$ = \varphi(0)$
Banalmente

$ = = 0$
In quanto $\varphi$ è a supporto compatto, e per $n->oo, t-n -> -oo$, $\varphi$ dovrebbe essere 0.

$lim_(n->oo) int_(-oo)^(oo) u(t-n) \varphi(t) dt$
Su questo ho dubbi. Tecnicamente, per $t-n -> -oo, u(t-n) = 1$. Dunque, credo che l'integrale si riduca a
$int_(\tau_1)^(\tau_2) \varphi(t) dt$. C'è qualcosa che mi sfugge in tutto questo, ma cosa?

Potete darmi una mano? Grazie in anticipo.

[dissonance]

\(u\) chi è? Il gradino di Heaviside? E allora mi sa che \(u(t-n)\to 0\). Infatti al crescere di \(n\) quel gradino cammina verso destra. Se invece è \(u(t+n)\) allora è una cosa che tende a \(1\) (inteso come funzione costante): non vedo grossi problemi in questo.


P.S.: BTW, per gradino di Heaviside intendo

\[u(x)=\begin{cases} 1 &x > 0 \\ 0 & x < 0\end{cases}\]

[pater46]

Doh! Hai proprio ragione! Dunque è ragionevole dire che tutta quella roba tende a $\varphi(0)$?

Ho tralasciato le dimostrazioni del passaggio del segno del limite sotto il segno integrale. QUesto è un altro punto in cui ho difficoltà. In questo caso posso direttamente maggiorare la funzione $u(t-n)\varphi(t)$ con $varphi(t)$, che è sommabile, in quanto a supporto compatto. Giusto?

[dissonance]

"pater46":Doh! Hai proprio ragione! Dunque è ragionevole dire che tutta quella roba tende a $\varphi(0)$?

No, non è ragionevole, è sbagliato. Quella roba tende infatti a \(\delta\).

Ho tralasciato le dimostrazioni del passaggio del segno del limite sotto il segno integrale. QUesto è un altro punto in cui ho difficoltà. In questo caso posso direttamente maggiorare la funzione $u(t-n)\varphi(t)$ con $varphi(t)$, che è sommabile, in quanto a supporto compatto. Giusto?

No. A parte il fatto che qui non servono teoremi complicati, basta osservare che per \(n\) sufficientemente grande si ha \(u(t-n)\varphi(t)=0\), quando si applica il teorema delle conv. dominata occorre considerare il valore assoluto della successione integranda.

[gugo82]

"pater46":$lim_(n->oo) int_(-oo)^(oo) u(t-n) \varphi(t) dt$
Su questo ho dubbi. Tecnicamente, per $t-n -> -oo, u(t-n) = 1$. Dunque, credo che l'integrale si riduca a
$int_(\tau_1)^(\tau_2) \varphi(t) dt$. C'è qualcosa che mi sfugge in tutto questo, ma cosa?

Ma anche senza convergenza dominata... Basta solo fare i conticini.

Infatti, calcolando esplicitamente è:
\[
\int_{-\infty}^\infty \text{u}(t-n)\ \varphi (t)\ \text{d} t =\int_n^\infty \varphi (t)\ \text{d} t\; ,
\]
ora evidentemente si ha:
\[
\left| \int_n^\infty \varphi (t)\ \text{d} t \right| \quad \begin{cases} \leq (\sup \text{supt } \varphi -n)\ \lVert \varphi\rVert_\infty &\text{, se } n< \sup \text{supt } \varphi \\ =0 &\text{, se } n\geq \sup \text{supt }\varphi \end{cases}
\]
ove \(\text{supt }\varphi\) è il supporto (compatto) di \(\varphi\).
Quindi per ogni fissata \(\varphi\) esiste un \(\nu =[\sup \text{supt } \varphi]\) (in cui \([\cdot]\) è la parte intera) tale che per ogni \(n \in \mathbb{N}\) è:
\[
\forall n>\nu, \qquad \int_{-\infty}^\infty \text{u}(t-n)\ \varphi (t)\ \text{d} t = 0\; ,
\]
sicché:
\[
\int_{-\infty}^\infty \text{u}(t-n)\ \varphi (t)\ \text{d} t \to 0\; .
\]

[pater46]

Effettivamente qui era abbastanza semplice. Solo a titolo di prova, se per esempio avessi da fare il limite di:

$ 2^(-nt^2)/(1+nt^2) $

Basta osservare che:

1) $ lim_(n->+oo) 2^(-nt^2)/(1+nt^2) = 0 \forall t $
2) $ 2^(-nt^2)/(1+nt^2) <= 1/(1+nt^2) <= 1 \in L^1_"loc" $

E dunque posso utilizzare il teorema della convergenza dominata e asserire che

[tex]\frac{ 2^{-nt^2}}{1+nt^2} \rightarrow_D \text{ } 0[/tex] ?