Limite nel campo complesso
Salve a tutti,
mi è venuto un dubbio piuttosto banale ma è meglio che lo chiarisca subito: se ho un numero complesso $z=x+iy$ , e voglio fare ad esempio il limite: $\lim_{z \to \0} e^(-1/z^2)$ , è corretto fare separatamente il limite della parte reale ed immaginaria, così? $\lim_{x \to \0} e^(-1/x^2) = 0 $ , $\lim_{y \to \0} e^(-1/(iy)^2) = +infty$ e concludere che il limite non esiste in $z=0$ ? Oppure (non so se sto per scrivere qualcosa di orribile, in tal caso chiedo scusa) devo fare $\lim_({x \to \0}{y \to \0}) e^(-1/(x+iy)^2)$ ? Oppure $\lim_{z \to \0^+} e^(-1/z^2) = 0$ , $\lim_{z \to \0^-} e^(-1/z^2) = 0$ e quindi il limite esiste finito ed è 0 ? Sono confusa! Spero che possiate aiutarmi!
Grazie in anticipo
Valentina
mi è venuto un dubbio piuttosto banale ma è meglio che lo chiarisca subito: se ho un numero complesso $z=x+iy$ , e voglio fare ad esempio il limite: $\lim_{z \to \0} e^(-1/z^2)$ , è corretto fare separatamente il limite della parte reale ed immaginaria, così? $\lim_{x \to \0} e^(-1/x^2) = 0 $ , $\lim_{y \to \0} e^(-1/(iy)^2) = +infty$ e concludere che il limite non esiste in $z=0$ ? Oppure (non so se sto per scrivere qualcosa di orribile, in tal caso chiedo scusa) devo fare $\lim_({x \to \0}{y \to \0}) e^(-1/(x+iy)^2)$ ? Oppure $\lim_{z \to \0^+} e^(-1/z^2) = 0$ , $\lim_{z \to \0^-} e^(-1/z^2) = 0$ e quindi il limite esiste finito ed è 0 ? Sono confusa! Spero che possiate aiutarmi!
Grazie in anticipo
Valentina
Risposte
Una funzione $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ (diciamo $f(z)$) è in particolare una funzione $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ (diciamo $f(x,y)$), grazie all'identificazione $(x,y) \mapsto x+iy=z$ tra $\mathbb{R}^2$ e il campo dei numeri complessi.
Quindi, calcolare $\lim_{z \to ->z_0} f(z)$ è come calcolare \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) \), dove $z_0=x_0+iy_0$
Osserviamo che $f$, vista come funzione a valori reali, è una funzione vettoriale $f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y))$ quindi calcolare il limite significa fare il limite di $f_1$ e $f_2$. Ma $f_1$ e $f_2$ sono proprio la parte reale e immaginaria di $f$, quindi ciò che dici è giusto.
Purtroppo non è sempre facile isolare parte reale e immaginaria. Inoltre, nel tuo esempio hai sbagliato a farlo perché $\mathfrak{Re}(e^{-1/(z^2)}) \ne e^{-1/(x^2)}$ e $\mathfrak{Im}(e^{-1/(z^2)}) \ne e^{-1/(y^2)}$.
Per quanto riguarda i limiti da destra e da sinistra, non esistono in $\mathbb{C}$. Sono definiti solo sulla retta reale. Questo perché in $\mathbb{C}$ non c'è un "destra" e un "sinistra", ma ci sono infinite direzioni lungo le quali calcolare il limite. E ancora, calcolare il limite non equivale a calcolarlo lungo una direzione fissata. Ma questa distinzione ti dovrebbe essere già chiara se hai fatto limiti in due (o più) variabili.
Comunque, hai scelto un limite proprio bruttino perché quella funzione ha una discontinuità essenziale in $z=0$, cioè il limite in quel punto non esiste
Quindi, calcolare $\lim_{z \to ->z_0} f(z)$ è come calcolare \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) \), dove $z_0=x_0+iy_0$
Osserviamo che $f$, vista come funzione a valori reali, è una funzione vettoriale $f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y))$ quindi calcolare il limite significa fare il limite di $f_1$ e $f_2$. Ma $f_1$ e $f_2$ sono proprio la parte reale e immaginaria di $f$, quindi ciò che dici è giusto.
Purtroppo non è sempre facile isolare parte reale e immaginaria. Inoltre, nel tuo esempio hai sbagliato a farlo perché $\mathfrak{Re}(e^{-1/(z^2)}) \ne e^{-1/(x^2)}$ e $\mathfrak{Im}(e^{-1/(z^2)}) \ne e^{-1/(y^2)}$.
Per quanto riguarda i limiti da destra e da sinistra, non esistono in $\mathbb{C}$. Sono definiti solo sulla retta reale. Questo perché in $\mathbb{C}$ non c'è un "destra" e un "sinistra", ma ci sono infinite direzioni lungo le quali calcolare il limite. E ancora, calcolare il limite non equivale a calcolarlo lungo una direzione fissata. Ma questa distinzione ti dovrebbe essere già chiara se hai fatto limiti in due (o più) variabili.
Comunque, hai scelto un limite proprio bruttino perché quella funzione ha una discontinuità essenziale in $z=0$, cioè il limite in quel punto non esiste
Il punto è uno solo: quando in analisi complessa (e anche analisi II) bisogna fare un limite, la faccenda è noiosa e complicata quindi meglio provare strade alternative.
Una la suggerisce proprio l'analisi II ed è quella di vedere - prima di fare tutti i conti del mondo - se combaciano i limiti per $z$ puramente immaginario e $z$ puramente reale. In altre parole quello che si faceva in analisi II per vedere se i limiti calcolati "lungo" 2 rette differenti sono uguali (in modo che se non lo sono arrivederci ed esercizio risolto).
Comunque, prendiamo $z=iy$. Se calcoliamo
$lim_(y->0) e^(-1/(iy)^2)= lim_(y->0) e^(1/y^2)= +\infty$.
Se prendiamo $z=x$ cioè puramente reale otteniamo
$lim_(x->0) e^(-1/x^2)=0$
I due limiti sono diversi quindi prima di incasinarsi con calcoli vari possiamo concludere che il limite non esiste proprio perché calcolandolo lungo due direzioni diverse otteniamo risultati differenti.
Ora, il procedimento standard, se non ricordo male (analisi complessa l'ho fatta nel 2011 quindi non fidarti tantissimo
) richiede di sostituire $z=x+iy$ e di rapportarsi al calcolo del limite in 2 variabili.
Ci ho provato ma ho ottenuto il seguente sgorbio
$lim_((x,y)->(0,0)) e^(\frac{y^2-x^2}{y^4+x^4-2x^2 y^2+4y^2})\cdot e^(-i\frac{2y}{y^4+x^4-2x^2 y^2+4y^2}$
per cui sempre meglio tentare di calcolare il limite in 2 direzioni diverse (in genere quella puramente reale e puramente immaginaria) in modo che se vengono diversi si può concludere che non esiste senza rischiare un esaurimento.
Ora che ci penso, c'era anche un metodo che si serviva delle coordinate polari ma a dire il vero non me lo ricordo proprio quindi passo la palla in generale.
NOTA
Facendo l'anteprima - oltre che m'ha eliminato tutti gli "a capo"
- ho visto che ha risposto Antimius che saluto e a cui dico solo che non so se valentina92 sa cosa sia una discontinuità essenziale perché è una cosa che si definisce tanto in là in analisi complessa (tramite serie di Laurent). 
Una la suggerisce proprio l'analisi II ed è quella di vedere - prima di fare tutti i conti del mondo - se combaciano i limiti per $z$ puramente immaginario e $z$ puramente reale. In altre parole quello che si faceva in analisi II per vedere se i limiti calcolati "lungo" 2 rette differenti sono uguali (in modo che se non lo sono arrivederci ed esercizio risolto).
Comunque, prendiamo $z=iy$. Se calcoliamo
$lim_(y->0) e^(-1/(iy)^2)= lim_(y->0) e^(1/y^2)= +\infty$.
Se prendiamo $z=x$ cioè puramente reale otteniamo
$lim_(x->0) e^(-1/x^2)=0$
I due limiti sono diversi quindi prima di incasinarsi con calcoli vari possiamo concludere che il limite non esiste proprio perché calcolandolo lungo due direzioni diverse otteniamo risultati differenti.
Ora, il procedimento standard, se non ricordo male (analisi complessa l'ho fatta nel 2011 quindi non fidarti tantissimo
) richiede di sostituire $z=x+iy$ e di rapportarsi al calcolo del limite in 2 variabili.Ci ho provato ma ho ottenuto il seguente sgorbio
$lim_((x,y)->(0,0)) e^(\frac{y^2-x^2}{y^4+x^4-2x^2 y^2+4y^2})\cdot e^(-i\frac{2y}{y^4+x^4-2x^2 y^2+4y^2}$
per cui sempre meglio tentare di calcolare il limite in 2 direzioni diverse (in genere quella puramente reale e puramente immaginaria) in modo che se vengono diversi si può concludere che non esiste senza rischiare un esaurimento.
Ora che ci penso, c'era anche un metodo che si serviva delle coordinate polari ma a dire il vero non me lo ricordo proprio quindi passo la palla in generale.
NOTA
Facendo l'anteprima - oltre che m'ha eliminato tutti gli "a capo"
- ho visto che ha risposto Antimius che saluto e a cui dico solo che non so se valentina92 sa cosa sia una discontinuità essenziale perché è una cosa che si definisce tanto in là in analisi complessa (tramite serie di Laurent).
Ciao, Zero87. In effetti, ho un po' esagerato, ma volevo soltanto dire che non esiste il limite, per questo ho messo il "cioè" dopo il parolone
Comunque, ora che ho letto il tuo messaggio, credo che valentina92 stesse parlando di limite lungo le direzioni reale e immaginaria e non di limite della parte reale e immaginaria (come avevo invece interpretato)
Comunque, ora che ho letto il tuo messaggio, credo che valentina92 stesse parlando di limite lungo le direzioni reale e immaginaria e non di limite della parte reale e immaginaria (come avevo invece interpretato)
Grazie a entrambi! Non preoccuparti Antimius, non hai esagerato, so che cos'è una discontinuità essenziale, e l'esercizio era proprio quello di riconoscere che discontinuità avesse quella funzione in 0 solo che mi è venuto il dubbio sulla risoluzione del limite perchè non ero sicura se si potesse risolvere come limite di una funzione in due variabili, ecc.
Zero87 forse il metodo che dici in coordinate polari è quello di considerare $z=\rhoe^(i\theta)$ , scrivere il limite così e calcolarlo facendo per $\rho->0$ ? E poi se viene dipendente da $\theta$ vuol dire che il limite non esiste?
Al di là di questo, se ho capito bene quindi va bene calcolare il limite come avevo fatto io quando l'ho fatto separatamente lungo le due direzioni dell'asse reale e immaginario (in effetti rileggendo mi ero espressa male, scusate)
solo che mi è venuto il dubbio sulla risoluzione del limite perchè non ero sicura se si potesse risolvere come limite di una funzione in due variabili, ecc.Zero87 forse il metodo che dici in coordinate polari è quello di considerare $z=\rhoe^(i\theta)$ , scrivere il limite così e calcolarlo facendo per $\rho->0$ ? E poi se viene dipendente da $\theta$ vuol dire che il limite non esiste?
Al di là di questo, se ho capito bene quindi va bene calcolare il limite come avevo fatto io quando l'ho fatto separatamente lungo le due direzioni dell'asse reale e immaginario (in effetti rileggendo mi ero espressa male, scusate)
"valentina92":
Non preoccuparti Antimius, non hai esagerato, so che cos'è una discontinuità essenziale, e l'esercizio era proprio quello di riconoscere che discontinuità avesse quella funzione in 0
Meglio così
Comunque, è corretto quello che dici sulle coordinate polari. La situazione è uguale al limite in due variabili: se il limite viene dipendente da $\theta$, vuol dire che è diverso lungo direzioni diverse, allora non esiste. E' lo stesso principio che applichi quando fai il limite lungo direzione reale e immaginaria. Infatti, avresti potuto anche calcolare il limite lungo altre direzioni. Di solito quelle direzioni sono più comode, ma se i due limiti fossero stati uguali, avresti dovuto tentarne altre.
Se invece il limite è uniforme rispetto a $\theta$, allora esiste (ed è quello calcolato)
Molto bene, adesso è più chiaro. Grazie mille!
"valentina92":
Grazie a entrambi! Non preoccuparti Antimius, non hai esagerato, so che cos'è una discontinuità essenziale, e l'esercizio era proprio quello di riconoscere che discontinuità avesse quella funzione in 0
La sfida sarebbe quella di fare lo sviluppo di Laurent - magari partendo da Taylor - e vedere che ci sono infiniti termini con esponente negativo in modo da concludere che la singolarità è essenziale.
A occhio mi sembra facile ma ci ho provato e mi sono incartato con i calcoli... mah
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