Limite L2 di una serie di funzioni
Salve...
Ho la seguente successione di funzioni:
$f_n(x) = \sum_{k=2}^{n} \frac{cos(kx)}{sqrt(k)ln(k)}$
e devo verificare se converge ad una funzione $L^2([0$,$2\pi$]) ed eventualmente calcolare $||f||_2$ con $f$ il suo limite.
A dire la verità non so bene da dove cominciare... la presenza del $cos(kx)$ mi farebbe pensare che la funzione potrebbe essere uno sviluppo di fourier, ma anche se fosse non saprei come risalire alla funzione dal suo sviluppo. Anche il verificare direttamente che l'integrale $int_0^{2\pi} |sum_{k=2}^{\infty} \cos(kx)/(\sqrt(k)\ln(k))|^2 dx$ sia finito non mi sembra conveniente (nel senso che non saprei come fare)... qualche suggerimento??
Ho la seguente successione di funzioni:
$f_n(x) = \sum_{k=2}^{n} \frac{cos(kx)}{sqrt(k)ln(k)}$
e devo verificare se converge ad una funzione $L^2([0$,$2\pi$]) ed eventualmente calcolare $||f||_2$ con $f$ il suo limite.
A dire la verità non so bene da dove cominciare... la presenza del $cos(kx)$ mi farebbe pensare che la funzione potrebbe essere uno sviluppo di fourier, ma anche se fosse non saprei come risalire alla funzione dal suo sviluppo. Anche il verificare direttamente che l'integrale $int_0^{2\pi} |sum_{k=2}^{\infty} \cos(kx)/(\sqrt(k)\ln(k))|^2 dx$ sia finito non mi sembra conveniente (nel senso che non saprei come fare)... qualche suggerimento??
Risposte
L'idea che possa essere una serie di Fourier è quello che ti serve: per dimostrare che essa converge in norma $L^2$ dovresti ragionare su alcuni risultati di convergenza delle serie di Fourier stesse. Per quanto riguarda la norma, invece, basta applicare l'identità di Parseval.
P.S.: non credo tu debba effettivamente esibire esplicitamente la funzione $f$.
P.S.: non credo tu debba effettivamente esibire esplicitamente la funzione $f$.
Sapendo che è lo sviluppo di fourier di una funzione $L^2$ avrei concluso, poiché la serie di ogni funzione $L^2$ converge alla funzione stessa in norma $L^2$, però prima devo dimostrare questo! In generale anche gli altri teoremi di convergenza vanno, per così dire, nella direzione opposta: mi dicono come si comporta la serie di funzione le cui caratteristiche (continuità, derivabilità ecc.) sono note, ma come si applicano a questo genere di casi?
Avevo anche pensato in alternativa a minorare la serie con un'altra serie che so essere sviluppo di una funzione $L^2$ concludendo poi da lì... sarebbe valida come strada?
Tramite l'identità di parseval poi ho che $||f||_2^2 = \pi \sum_{k=2}^{oo} \frac{1}{k \ln^2(k)} $, però anche qui c'é da trovare quanto vale la somma!
Avevo anche pensato in alternativa a minorare la serie con un'altra serie che so essere sviluppo di una funzione $L^2$ concludendo poi da lì... sarebbe valida come strada?
Tramite l'identità di parseval poi ho che $||f||_2^2 = \pi \sum_{k=2}^{oo} \frac{1}{k \ln^2(k)} $, però anche qui c'é da trovare quanto vale la somma!
uppete
Quoto ciampax. Anche per me la funzione somma non la devi esibire esplicitamente.
Questo esercizio serve proprio a farti capire l`importanza della uguaglianza di Parseval e del teorema di Fischer-Riesz.
Questo esercizio serve proprio a farti capire l`importanza della uguaglianza di Parseval e del teorema di Fischer-Riesz.
Ok per l'identità di parseval... una volta raggiunta quella formulazione ho fatto. Però per applicarla dovrei sapere in anticipo che $f$ è $L^2$, giusto?
Il teorema di Fischer-Riesz, se non sbaglio, afferma la completezza di $L^2$, ovvero dice che $L^2$ è uno spazio di Banach. Quindi per applicarlo dovrei dimostrare che $f_n$ è convergente in $L^2$, o anche solo di cauchy.. quindi devo dimostrare che $\forall \epsilon > 0$, esiste un $\bar{n} > 0$ t.c. $m,n>\bar{n} => || f_m - f_n ||_2 < \epsilon$. Poiché ho che (siano $m>n>\bar{n}$) $f_m - f_n = \sum_{k=n+1}^{m} \frac{cos(kx)}{\sqrt{k} \ln(k)}$ e $ ||f_m - f_n||_2 = (\int_0^{2\pi} | \sum_{k=n+1}^{m} \frac{cos(kx)}{\sqrt{k} \ln(k)} |^2 dx)^{1/2}$ posso applicare il teorema di pitagora, considerando che le $\{\frac{cos(kx)}{\sqrt(\pi)}\}_{k\in NN}$ formano un sistema ortonormale in $L^2$, per cui definendo $ s_k(x) \equiv \frac{1}{\sqrt(k) \ln(k)} $ si ha che $||f_m-f_n||_2^2 = \pi||\sum_{k=n+1}^{m} s_k \frac{cos(kx)}{\sqrt(\pi)}||_2^2 = \pi \sum_{k=n+1}^{m} |s_k|^2$ e da cui si ha praticamente concluso: la serie $\sum \frac{1}{k\ln^2(k)}$ è convergente per cui la successione delle sue ridotte è di cauchy, e si ha la tesi.
E' giusto un ragionamento di questo tipo? è la prima volta che mi capita effettivamente di usare il teorema di pitagora "generalizzato" in un esercizio (apparte per le dimostrazioni di Bessel e Parseval chiaramente), quindi non scommetterei su tutto ciò che ho detto!
Alla fine però così non ho usato il fatto che $f_n$ potesse essere lo sviluppo di fourier di una funzione (anche se ho usato tecniche simili, se non identiche, a quelle usate per gestire gli sviluppi di fourier)... @ciampax per "risultati di convergenza" intendevi Fischer-Riesz oppure qualcos'altro? Quali altri approcci al problema sarebbero possibili (sempre rimanendo in quest'ambito di nozioni e teoremi chiaramente)?
Grazie!
Il teorema di Fischer-Riesz, se non sbaglio, afferma la completezza di $L^2$, ovvero dice che $L^2$ è uno spazio di Banach. Quindi per applicarlo dovrei dimostrare che $f_n$ è convergente in $L^2$, o anche solo di cauchy.. quindi devo dimostrare che $\forall \epsilon > 0$, esiste un $\bar{n} > 0$ t.c. $m,n>\bar{n} => || f_m - f_n ||_2 < \epsilon$. Poiché ho che (siano $m>n>\bar{n}$) $f_m - f_n = \sum_{k=n+1}^{m} \frac{cos(kx)}{\sqrt{k} \ln(k)}$ e $ ||f_m - f_n||_2 = (\int_0^{2\pi} | \sum_{k=n+1}^{m} \frac{cos(kx)}{\sqrt{k} \ln(k)} |^2 dx)^{1/2}$ posso applicare il teorema di pitagora, considerando che le $\{\frac{cos(kx)}{\sqrt(\pi)}\}_{k\in NN}$ formano un sistema ortonormale in $L^2$, per cui definendo $ s_k(x) \equiv \frac{1}{\sqrt(k) \ln(k)} $ si ha che $||f_m-f_n||_2^2 = \pi||\sum_{k=n+1}^{m} s_k \frac{cos(kx)}{\sqrt(\pi)}||_2^2 = \pi \sum_{k=n+1}^{m} |s_k|^2$ e da cui si ha praticamente concluso: la serie $\sum \frac{1}{k\ln^2(k)}$ è convergente per cui la successione delle sue ridotte è di cauchy, e si ha la tesi.
E' giusto un ragionamento di questo tipo? è la prima volta che mi capita effettivamente di usare il teorema di pitagora "generalizzato" in un esercizio (apparte per le dimostrazioni di Bessel e Parseval chiaramente), quindi non scommetterei su tutto ciò che ho detto!
Alla fine però così non ho usato il fatto che $f_n$ potesse essere lo sviluppo di fourier di una funzione (anche se ho usato tecniche simili, se non identiche, a quelle usate per gestire gli sviluppi di fourier)... @ciampax per "risultati di convergenza" intendevi Fischer-Riesz oppure qualcos'altro? Quali altri approcci al problema sarebbero possibili (sempre rimanendo in quest'ambito di nozioni e teoremi chiaramente)?
Grazie!
up!!
L'applicazione che a ogni funzione \(f\in L^2(0, 2\pi)\) associa i suoi coefficienti di Fourier (diciamo complessi, per semplificare l'esposizione) è un isomorfismo fra gli spazi di Hilbert \( L^2(0, 2\pi)\) e \( \ell^2(\mathbb{Z}) \).
Di conseguenza, se hai una successione \( (a_n) \in \ell^2(\mathbb{Z}) \), la corrispondente serie \( \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n e^{int} \) converge in \( L^2(0, 2\pi) \) ad una funzione $f$ i cui coefficienti di Fourier sono gli $(a_n)$.
Di conseguenza, se hai una successione \( (a_n) \in \ell^2(\mathbb{Z}) \), la corrispondente serie \( \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n e^{int} \) converge in \( L^2(0, 2\pi) \) ad una funzione $f$ i cui coefficienti di Fourier sono gli $(a_n)$.
ehm... perdona l'ignoranza, che insieme intendi per $l^2(ZZ)$?
\( \ell^2(\mathbb{Z}) := \{ (a_n)_{n\in\mathbb{Z}} : a_n\in\mathbb{C}, \sum_n |a_n|^2 < \infty\}. \)
quindi se ho capito quello che stai dicendo è che già so in partenza che la serie converge ad una funzione $L^2$, senza bisogno di usare la completezza di $L^2$?? Questo teorema/proposizione/comesichiama ha un nome specifico (intendo l'isomorfismo tra $L^2$ e \( \ell^2 \))?
Stai usando la completezza (che ti dice che $L^2$ è uno spazio di Hilbert) e il teorema di Fisher-Riesz.
ricevuto, avevo letto erroneamente che era Fischer-Riesz stesso ad affermare la completezza! Grazie
Non avevi sbagliato, è solo una questione di terminologia.
Se parti da uno spazio di Hilbert (che, per definizione, è completo), allora sotto il nome di teorema di Fisher-Riesz si intende il risultato di isometria prima citato.
Se sei in uno spazio $L^p$, in genere con lo stesso nome si intende il risultato di completezza di $L^p$.
Partendo da $L^2$, prima dimostri che è completo (dunque è uno spazio di Hilbert), e a questo punto hai l'isometria.
Se parti da uno spazio di Hilbert (che, per definizione, è completo), allora sotto il nome di teorema di Fisher-Riesz si intende il risultato di isometria prima citato.
Se sei in uno spazio $L^p$, in genere con lo stesso nome si intende il risultato di completezza di $L^p$.
Partendo da $L^2$, prima dimostri che è completo (dunque è uno spazio di Hilbert), e a questo punto hai l'isometria.
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