Limite irrisolto

[ledrox]

Sarei grato a chi mi risolvesse tale limite che mi ha creato problemi:

$lim_(x->0^-)arctg((1)/(root(3)(x)))$

[adaBTTLS1]

non è una forma indeterminata.
l'argomento tende a $-oo$, la tangente, nell'intervallo $(-pi/2, pi/2)$ di definizione della funzione arcotangente, tende a $-oo$ quando il suo argomento (l'arco) tende a $-pi/2$. quindi il limite precedente è $-pi/2$. spero sia chiaro. ciao.

[ledrox]

"adaBTTLS":non è una forma indeterminata.
l'argomento tende a $-oo$, la tangente, nell'intervallo $(-pi/2, pi/2)$ di definizione della funzione arcotangente, tende a $-oo$ quando il suo argomento (l'arco) tende a $-pi/2$. quindi il limite precedente è $-pi/2$. spero sia chiaro. ciao.

Ti sarei grato se mi spiegassi in modo più formale perchè l'argomento (1/ radice terza di x) per x che tende da sinistra è - infinito. Ero già in possesso del risultato che è proprio quello a cui sei arrivato tu ma proprio non capisco come...
Ho incontrato lo stesso prob per $(1)/(sen^3(x))$ per x che tende sia da destra che da sinistra e spero con la tua spiegazione di chiarire il dubbio. Come avrai capito il vero prob l'ho incontrato nel determinare per $x->0^-$ a cosa tende $root(3)(x)$

grazie ancora

[Albertus16]

Il risultato del limite è esatto, come dice adaBTTLS. Ledrox, facendo il limite per $x->0^-$ dell'argomento dell'arcotangente, cioè il fattore $1/(root(3)(x))$, si ottiene $-\infty$, poichè stai facendo il limite di un numero negativo che tende allo zero. Ciò è permesso dall'indice dispari della radice al denominatore. Infatti, l'indice 3 della radice non è messo a caso, è perchè proprio con gli indici dispari puoi trovare radici di numeri negativi; se avevi un indice pari come 4 o 2, non potevi fare il limite perchè non esiste un numero, che elevato alla quarta potenza o al quadrato, dia come risultato un numero negativo. Spero di essere stato abbastanza chiaro.

[adaBTTLS1]

ora ti ha risposto Albertus16.
comunque devi tener conto che la radice cubica di 0 è zero, e che quindi anche il suo limite per x che tende a zero è zero. però la radice cubica "non cambia" il segno dell'argomento, nel senso che la radice cubica di un numero positivo è positiva e la radice cubica di un numero negativo è negativo.
mettendo insieme queste informazioni si può affermare che $lim_(x->0^-)\root(3)(x)=0^-$. il limite del reciproco (argomento dell'arcotangente) tende dunque a $[1/(0^-)=-oo]$.
spero di aver chiarito. ciao.